Duas bolas de boliche A e B, de massas iguais, percorrem uma mesma canaleta retilínea onde realizam um choque perfeitamente elástico. Se as velocidades escalares de A e B imediatamente antes da colisão valem VA= 2,0 m/s e VB= -1,0 m/s, quais as velocidades escalares V’A e V’B de A e B imediatamente depois da colisão?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre duas bolas de boliche, A e B, que têm a mesma massa e estão se movendo numa canaleta reta. Elas colidem de maneira perfeitamente elástica. Antes da colisão, a bola A está indo para frente com velocidade de 2,0 m/s e a bola B está indo para trás com velocidade de -1,0 m/s. Nosso objetivo é descobrir quais serão as velocidades das bolas A e B logo após a colisão. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de Conservação da Quantidade de Movimento e Conservação da Energia Cinética, que são fundamentais para entender colisões elásticas.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que em uma colisão perfeitamente elástica, tanto a quantidade de movimento total quanto a energia cinética total do sistema são conservadas. Isso significa que a soma da quantidade de movimento e da energia cinética das duas bolas antes da colisão será igual à soma após a colisão.
Passo 3
Vamos começar pela Conservação da Quantidade de Movimento. A quantidade de movimento § de um objeto é dada pela fórmula:
onde $ m $ é a massa e $ v $ é a velocidade. Como as massas das bolas A e B são iguais, podemos simplificar nossos cálculos.
Passo 4
Antes da colisão, a quantidade de movimento total $ p_{total_antes} $ é a soma das quantidades de movimento das bolas A e B:
Substituindo os valores fornecidos:
Passo 5
Agora, após a colisão, vamos chamar as velocidades das bolas A e B de $ V’_A $ e $ V’B $, respectivamente. A quantidade de movimento total após a colisão $ p{total_depois} $ será:
Pelo princípio da conservação da quantidade de movimento:
Então:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por $ m $:
Passo 6
Agora, vamos aplicar a Conservação da Energia Cinética. A energia cinética (KE) é dada por:
A energia cinética total antes da colisão $ KE_{total_antes} $ é:
Substituindo os valores:
Passo 7
Após a colisão, a energia cinética total $ KE_{total_depois} $ será:
Pelo princípio da conservação da energia cinética:
Então:
Novamente, podemos simplificar dividindo ambos os lados por $ \frac{1}{2} m $:
Passo 8
Agora temos duas equações:
- $ V’_A + V’_B = 1,0 , m/s $ (Equação 1)
- $ V’_A^2 + V’_B^2 = 5 , m2/\text{s}2 $ (Equação 2)
Vamos resolver esse sistema de equações. Primeiro, da Equação 1, podemos expressar $ V’_B $ em função de $ V’_A $:
Passo 9
Substituímos $ V’_B $ na Equação 2:
Expandindo o termo $ (1,0 - V’_A)^2 $:
Simplificando:
Passo 10
Subtraindo 5 de ambos os lados para igualar a equação a zero:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:
Passo 11
Agora, temos uma equação quadrática:
Vamos resolver para $ V’_A $ usando a fórmula de Bhaskara:
Onde $ a = 1 $, $ b = -1 $, e $ c = -2 $.
Calculando o discriminante:
Então:
Isso nos dá duas soluções:
- $ V’_A = \frac{1 + 3}{2} = 2,0 , m/s $
- $ V’_A = \frac{1 - 3}{2} = -1,0 , m/s $
Passo 12
Vamos analisar as soluções:
-
Se $ V’_A = 2,0 , m/s $, substituindo na Equação 1:$ V’_B = 1,0 - 2,0 = -1,0 , m/s $
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Se $ V’_A = -1,0 , m/s $, substituindo na Equação 1:$ V’_B = 1,0 - (-1,0) = 2,0 , m/s $
Resposta
Após a colisão, as velocidades das bolas são:
- $ V’_A = -1,0 , m/s $
- $ V’_B = 2,0 , m/s $