Duas bolas de boliche A e B, de massas iguais, percorrem uma mesma canaleta retilínea onde realizam um choque perfeitamente elástico. Se as velocidades escalares de A e B imediatamente antes da colisão valem VA= 2,0 m/s e VB= -1,0 m/s, quais as velocidades escalares V’A e V’B de A e B imediatamente depois da colisão?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre duas bolas de boliche, A e B, que têm a mesma massa e estão se movendo numa canaleta reta. Elas colidem de maneira perfeitamente elástica. Antes da colisão, a bola A está indo para frente com velocidade de 2,0 m/s e a bola B está indo para trás com velocidade de -1,0 m/s. Nosso objetivo é descobrir quais serão as velocidades das bolas A e B logo após a colisão. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de Conservação da Quantidade de Movimento e Conservação da Energia Cinética, que são fundamentais para entender colisões elásticas.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que em uma colisão perfeitamente elástica, tanto a quantidade de movimento total quanto a energia cinética total do sistema são conservadas. Isso significa que a soma da quantidade de movimento e da energia cinética das duas bolas antes da colisão será igual à soma após a colisão.

Passo 3

Vamos começar pela Conservação da Quantidade de Movimento. A quantidade de movimento § de um objeto é dada pela fórmula:
p = m times v
onde $ m $ é a massa e $ v $ é a velocidade. Como as massas das bolas A e B são iguais, podemos simplificar nossos cálculos.

Passo 4

Antes da colisão, a quantidade de movimento total $ p_{total_antes} $ é a soma das quantidades de movimento das bolas A e B:
ptotalantes
Substituindo os valores fornecidos:
ptotalantes = m times VA + m times VB

Passo 5

Agora, após a colisão, vamos chamar as velocidades das bolas A e B de $ V’_A $ e $ V’B $, respectivamente. A quantidade de movimento total após a colisão $ p{total_depois} $ será:
V'A
Pelo princípio da conservação da quantidade de movimento:
V'B
Então:
ptotaldepois
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por $ m $:
ptotaldepois = m times V'A + m times V'B çã

Passo 6

Agora, vamos aplicar a Conservação da Energia Cinética. A energia cinética (KE) é dada por:
KE = 12 m v^2
A energia cinética total antes da colisão $ KE_{total_antes} $ é:
KEtotalantes
Substituindo os valores:
KEtotalantes = 12 m VA^2 + 12 m VB^2

Passo 7

Após a colisão, a energia cinética total $ KE_{total_depois} $ será:
Pelo princípio da conservação da energia cinética:
KEtotaldepois
Então:
Novamente, podemos simplificar dividindo ambos os lados por $ \frac{1}{2} m $:

Passo 8

Agora temos duas equações:
  1. $ V’_A + V’_B = 1,0 , m/s $ (Equação 1)
  2. $ V’_A^2 + V’_B^2 = 5 , m2/\text{s}2 $ (Equação 2)
Vamos resolver esse sistema de equações. Primeiro, da Equação 1, podemos expressar $ V’_B $ em função de $ V’_A $:
V'A + V'B = 1,0 , m/s

Passo 9

Substituímos $ V’_B $ na Equação 2:
Expandindo o termo $ (1,0 - V’_A)^2 $:
Simplificando:

Passo 10

Subtraindo 5 de ambos os lados para igualar a equação a zero:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:

Passo 11

Agora, temos uma equação quadrática:
Vamos resolver para $ V’_A $ usando a fórmula de Bhaskara:
V'A^2 - V'A - 2 = 0
Onde $ a = 1 $, $ b = -1 $, e $ c = -2 $.
Calculando o discriminante:
V'A
Então:
V'A = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Isso nos dá duas soluções:
  1. $ V’_A = \frac{1 + 3}{2} = 2,0 , m/s $
  2. $ V’_A = \frac{1 - 3}{2} = -1,0 , m/s $

Passo 12

Vamos analisar as soluções:
  • Se $ V’_A = 2,0 , m/s $, substituindo na Equação 1:
    $ V’_B = 1,0 - 2,0 = -1,0 , m/s $
  • Se $ V’_A = -1,0 , m/s $, substituindo na Equação 1:
    $ V’_B = 1,0 - (-1,0) = 2,0 , m/s $

Resposta

Após a colisão, as velocidades das bolas são:
  • $ V’_A = -1,0 , m/s $
  • $ V’_B = 2,0 , m/s $

Exercícios relacionados