Uma urna contém 5 bolas brancas e 7 bolas pretas. Três bolas são retiradas simultaneamente dessa urna. Se ganharmos por bola branca retirada e perdermos por bola preta retirada.
c) Encontre o lucro esperado, o lucro mediano e a moda do lucro;

Passo 1

Vamos entender o problema: Temos uma urna com 5 bolas brancas e 7 bolas pretas, totalizando 12 bolas. Vamos retirar 3 bolas de uma vez. A cada bola branca retirada, ganhamos R$ 200,00, e a cada bola preta retirada, perdemos R$ 100,00. Nosso objetivo aqui é encontrar três coisas sobre o lucro dessa situação: o lucro esperado, o lucro mediano e a moda do lucro. Para isso, vamos precisar usar conceitos de probabilidade, como distribuição hipergeométrica, e conceitos básicos de estatística.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as possíveis combinações de bolas que podemos retirar e calcular o lucro correspondente a cada combinação. Como estamos retirando 3 bolas, o número de bolas brancas retiradas pode ser 0, 1, 2 ou 3.
  • 0 bolas brancas e 3 bolas pretas:
    • Lucro:
  • 1 bola branca e 2 bolas pretas:
    • Lucro:
  • 2 bolas brancas e 1 bola preta:
    • Lucro:
  • 3 bolas brancas e 0 bolas pretas:
    • Lucro:

Passo 3

Agora, vamos calcular a probabilidade de cada uma dessas combinações acontecer. Isso utiliza a distribuição hipergeométrica, que nos permite calcular a probabilidade de retirar exatamente k bolas brancas em uma amostra sem reposição.
A fórmula da distribuição hipergeométrica é:
Onde:
  • é a combinação de n elementos tomados k a k.
Vamos calcular para cada caso:
  • P(0 bolas brancas):
  • P(1 bola branca):
  • P(2 bolas brancas):
  • P(3 bolas brancas):

Passo 4

Com as probabilidades calculadas, agora podemos encontrar o lucro esperado. O lucro esperado é a média ponderada dos lucros possíveis, onde os pesos são as probabilidades de cada lucro ocorrer.
Calculando:

Passo 5

Para encontrar o lucro mediano, precisamos identificar o valor que separa a distribuição em duas partes iguais. Ordenando os lucros possíveis:
  • -R$300,00
  • R$0,00
  • R$300,00
  • R$600,00
A mediana será o valor que está no meio dessa distribuição. Como temos quatro valores, a mediana será a média dos dois valores centrais:

Passo 6

A moda é o valor que ocorre com maior frequência na distribuição. Observando as probabilidades:
  • -R$300,00: ~15,91%
  • R$0,00: ~47,73%
  • R$300,00: ~31,82%
  • R$600,00: ~4,55%
O lucro que tem a maior probabilidade de ocorrer é R$0,00.

Resposta

  • Lucro Esperado: R$75,00
  • Lucro Mediano: R$150,00
  • Moda do Lucro: R$0,00

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Uma variável aleatória tem a seguinte função de distribuição:

Determine:
d)
Uma variável aleatória tem a seguinte função de distribuição:

Determine:
c) ;
Duas bolas são retiradas, sem reposição, de uma urna que contém duas bolas brancas, três bolas pretas e cinco bolas vermelhas. Determine a probabilidade de que:
a) ambas sejam pretas;
Duas bolas são retiradas, sem reposição, de uma urna que contém duas bolas brancas, três bolas pretas e cinco bolas vermelhas. Determine a probabilidade de que:
d) ambas sejam de cores diferentes.