Uma urna contém 5 bolas brancas e 7 bolas pretas. Três bolas são retiradas simultaneamente dessa urna. Se ganharmos por bola branca retirada e perdermos por bola preta retirada.
c) Encontre o lucro esperado, o lucro mediano e a moda do lucro;
Passo 1
Vamos entender o problema: Temos uma urna com 5 bolas brancas e 7 bolas pretas, totalizando 12 bolas. Vamos retirar 3 bolas de uma vez. A cada bola branca retirada, ganhamos R$ 200,00, e a cada bola preta retirada, perdemos R$ 100,00. Nosso objetivo aqui é encontrar três coisas sobre o lucro dessa situação: o lucro esperado, o lucro mediano e a moda do lucro. Para isso, vamos precisar usar conceitos de probabilidade, como distribuição hipergeométrica, e conceitos básicos de estatística.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar todas as possíveis combinações de bolas que podemos retirar e calcular o lucro correspondente a cada combinação. Como estamos retirando 3 bolas, o número de bolas brancas retiradas pode ser 0, 1, 2 ou 3.
0 bolas brancas e 3 bolas pretas:
Lucro:
1 bola branca e 2 bolas pretas:
Lucro:
2 bolas brancas e 1 bola preta:
Lucro:
3 bolas brancas e 0 bolas pretas:
Lucro:
Passo 3
Agora, vamos calcular a probabilidade de cada uma dessas combinações acontecer. Isso utiliza a distribuição hipergeométrica, que nos permite calcular a probabilidade de retirar exatamente k bolas brancas em uma amostra sem reposição.
A fórmula da distribuição hipergeométrica é:
Onde:
é a combinação de n elementos tomados k a k.
Vamos calcular para cada caso:
P(0 bolas brancas):
P(1 bola branca):
P(2 bolas brancas):
P(3 bolas brancas):
Passo 4
Com as probabilidades calculadas, agora podemos encontrar o lucro esperado. O lucro esperado é a média ponderada dos lucros possíveis, onde os pesos são as probabilidades de cada lucro ocorrer.
Calculando:
Passo 5
Para encontrar o lucro mediano, precisamos identificar o valor que separa a distribuição em duas partes iguais. Ordenando os lucros possíveis:
-R$300,00
R$0,00
R$300,00
R$600,00
A mediana será o valor que está no meio dessa distribuição. Como temos quatro valores, a mediana será a média dos dois valores centrais:
Passo 6
A moda é o valor que ocorre com maior frequência na distribuição. Observando as probabilidades:
-R$300,00: ~15,91%
R$0,00: ~47,73%
R$300,00: ~31,82%
R$600,00: ~4,55%
O lucro que tem a maior probabilidade de ocorrer é R$0,00.