Duas bolas de tênis são lançadas, simultaneamente, de um mesmo ponto. A primeira bola (1) é lançada verticalmente para cima com velocidade de módulo v0=10(3)^1 / 2 m / s. A segunda bola (2) descreve uma trajetória parabólica com o vetor velocidade inicial 2 v0 fazendo um ângulo Y=60^circ com a direção vertical. Desprezando a resistência do ar, qual o módulo do vetor velocidade da bola 2 em relação à bola 1 para um tempo t=1 s após o lançamento de ambas? Dê sua resposta em m / s.
Escolha uma opção
a. 23
b. 30
c. 15
d. Nenhuma das alternativas
e. 35
Seja o ângulo do movimento parabólico dado por theta=90^circ-gamma. Os vetores velocidades são dados por:
v1(t)=(v0-g t) j
v2=2 v0 cos theta i+(2 v0 sen theta-g t) j
Assim o vetor velocidade relativa é dado por:
v2-v1=2 v0 cos theta i+v0(2 sen theta-1) j

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos duas bolas de tênis lançadas ao mesmo tempo do mesmo ponto. A primeira bola (bola 1) é lançada diretamente para cima com uma velocidade inicial de . A segunda bola (bola 2) é lançada em uma trajetória parabólica com uma velocidade inicial de fazendo um ângulo de com a direção vertical. Queremos descobrir qual é a velocidade relativa da bola 2 em relação à bola 1 exatamente 1 segundo após o lançamento. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática, especificamente sobre movimento vertical e movimento oblíquo, além de entender como calcular velocidades relativas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da bola 1 após 1 segundo. Como a bola 1 está se movendo apenas verticalmente para cima, sua velocidade no tempo v1(t) = v0 - g t é dada por:
v1(1) = 10raiz3 - 10 times 1 = 10raiz3 - 10 , m/s
onde é a aceleração da gravidade.
Substituindo os valores:
Então, a velocidade da bola 1 após 1 segundo é para cima.

Passo 3

Agora, vamos analisar a bola 2, que se move em uma trajetória oblíqua. A velocidade inicial da bola 2 é v2x = 2v0 sin Y e faz um ângulo de v2y = 2v0 cos Y com a vertical. Para facilitar, vamos decompor essa velocidade em componentes horizontal ( v2x = 2 times 10raiz3 times sin 60^circ = 20raiz3 times raiz32 = 20 times 32 = 30 , m/s ) e vertical ( v2y = 2 times 10raiz3 times cos 60^circ = 20raiz3 times 0,5 = 10raiz3 , m/s ).
A velocidade inicial horizontal ( ) é:
E a velocidade inicial vertical ( ) é:
Substituindo e :

Passo 4

A velocidade vertical da bola 2 após 1 segundo também é influenciada pela gravidade. Então, a velocidade vertical no tempo v2(t) = v2y - g t é:
v2(1) = 10raiz3 - 10 times 1 = 10raiz3 - 10 , m/s
Substituindo:
v2(1) = 30 , i + (10raiz3 - 10) , j , m/s
Portanto, às 1 segundo, a velocidade da bola 2 é:

Passo 5

Agora, vamos calcular a velocidade relativa da bola 2 em relação à bola 1. A velocidade relativa vrel = v2 - v1 é dada por:
vrel = (30 , i + (10raiz3 - 10) , j) - (0 , i + (10raiz3 - 10) , j)
Substituindo as velocidades que encontramos:
vrel = 30 , i + 0 , j
vrel = 30 , i , m/s

Resposta

O módulo do vetor velocidade da bola 2 em relação à bola 1 após 1 segundo é 30 m/s.

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