Duas bolinhas A e B, com massas mA=1 kg e mB=2 kg, colidem elasticamente. Determine a velocidade destas após a colisão para os seguintes casos:
b. A bolinha A possui velocidade de V=5 m / s e B possuí velocidade de V=-10 m / s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas bolinhas, A e B, com massas de 1,kg e 2,kg, respectivamente. Elas vão colidir de forma elástica, ou seja, sem perda de energia durante a colisão. A bolinha A está se movendo para a direita com uma velocidade de 5,m/s, e a bolinha B está se movendo para a esquerda com uma velocidade de -10,m/s. Nosso objetivo é descobrir como ficam as velocidades delas depois dessa colisão. Para resolver isso, vamos usar as leis de conservação de momentum (quantidade de movimento) e de energia cinética.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é momentum. O momentum é uma grandeza que depende da massa e da velocidade de um objeto, calculado pela fórmula:
p = m times v
Em uma colisão, a quantidade total de momentum antes da colisão é igual à quantidade total de momentum depois da colisão. Então, podemos escrever:
mA times VAi + mB times VBi = mA times VAf + mB times VBf
Onde:
  • mA e mB são as massas das bolinhas A e B.
  • VAi e VBi são as velocidades iniciais.
  • VAf e VBf são as velocidades finais que queremos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso com os valores que temos:
1,kg times 5,m/s + 2,kg times (-10,m/s) = 1,kg times VAf + 2,kg times VBf
Fazendo as contas:
5 - 20 = VAf + 2VBf
-15 = VAf + 2VBf (Equação 1) çã

Passo 4

Agora, vamos usar a conservação de energia cinética. Em uma colisão elástica, a energia cinética total também é preservada. A fórmula da energia cinética é:
E = 12 m v^2
Então, a energia cinética antes da colisão é igual à energia cinética depois:
12 mA VAi^2 + 12 mB VBi^2 = 12 mA VAf^2 + 12 mB VBf^2
Multiplicando tudo por 2 para facilitar:
mA VAi^2 + mB VBi^2 = mA VAf^2 + mB VBf^2
Substituindo os valores:
1 times 5^2 + 2 times (-10)^2 = 1 times VAf^2 + 2 times VBf^2
25 + 200 = VAf^2 + 2VBf^2
225 = VAf^2 + 2VBf^2 (Equação 2) çã

Passo 5

Agora temos um sistema de duas equações:
  1. -15 = VAf + 2VBf
  2. 225 = VAf^2 + 2VBf^2
Vamos resolver a Equação 1 para VAf:
VAf = -15 - 2VBf

Passo 6

Substituindo VAf na Equação 2:
225 = (-15 - 2VBf)^2 + 2VBf^2
Expandindo o quadrado:
225 = 225 + 60VBf + 4VBf^2 + 2VBf^2
Simplificando:
225 = 225 + 60VBf + 6VBf^2
0 = 60VBf + 6VBf^2
0 = 6VBf(10 + VBf)

Passo 7

Daqui, temos duas soluções possíveis:
  1. VBf = 0,m/s
  2. VBf = -10,m/s
Vamos analisar cada caso.
  • Caso 1: Se VBf = 0,m/s, então substituindo na Equação 1:
    VAf = -15 - 2(0) = -15,m/s
  • Caso 2: Se VBf = -10,m/s, então:
    VAf = -15 - 2(-10) = -15 + 20 = 5,m/s
Note que o Caso 2 retorna as velocidades iniciais, indicando que não houve colisão de fato. Isso não faz sentido no contexto do problema, então a solução válida é o Caso 1.

Resposta

Após a colisão, a bolinha A terá uma velocidade de -15,m/s (isto é, 15 m/s para a esquerda) e a bolinha B ficará parada com velocidade de 0,m/s.

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