Duas cargas elétricas puntifiormes
encontram se no eixo
em pontos
e
. Calcule o trabalho realizado pela força externa que transporta a carga
ao longo do eixo
no caminho
de
até
. Mostre que este trabalho e igual a energia da carga
no campo das cargas
e
. Calcule a energia total da configuração de três cargas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de eletrostática onde duas cargas pontuais iguais,
e
, estão posicionadas ao longo do eixo
nos pontos
e
, respectivamente. A gente precisa calcular o trabalho feito por uma força externa que move uma terceira carga
ao longo do eixo
, do infinito negativo até a origem
. Depois, mostrar que esse trabalho é igual à energia da carga
no campo das cargas
e
, e por fim, calcular a energia total dessa configuração de três cargas.
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de potencial elétrico, trabalho realizado por forças elétricas e energia potencial eletrostática. Vamos precisar das fórmulas do potencial de uma carga pontual e da energia potencial entre cargas elétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é trabalho em eletrostática. O trabalho
realizado para mover uma carga
de um ponto A para um ponto B contra o campo elétrico é dado por:
onde
e
são os potenciais elétricos nos pontos A e B, respectivamente. Como estamos movendo a carga do infinito até a origem, e o potencial no infinito é zero (
), o trabalho fica:
Então, precisamos calcular o potencial elétrico
na origem devido às cargas
e
.
Passo 3
O potencial elétrico
devido a uma única carga pontual
a uma distância
é dado por:
onde
é a constante eletrostática (
).
No nosso caso, temos duas cargas
localizadas a uma distância
da origem ao longo do eixo
. Portanto, a distância de cada carga até a origem é
.
Passo 4
O potencial total na origem é a soma dos potenciais criados por cada carga:
Então, o potencial na origem devido às duas cargas é
.
Passo 5
Agora, aplicando a fórmula do trabalho:
Então, o trabalho realizado pela força externa ao mover a carga
até a origem é
.
Passo 6
Esse trabalho realizado é, na verdade, a energia potencial eletrostática da carga
no campo das cargas
e
. Ou seja:
Passo 7
Finalmente, vamos calcular a energia total da configuração das três cargas. A energia total
é a soma das energias potenciais entre cada par de cargas:
Onde:
-
é a energia entre e -
é a energia entre e -
é a energia entre e
Calculando cada termo:
Então:
Resposta
O trabalho realizado pela força externa é igual à energia da configuração das três cargas e vale: