Duas cargas elétricas puntifiormes q1=q2 equiv q encontram se no eixo x em pontos x=-a e x=a. Calcule o trabalho realizado pela força externa que transporta a carga q0 ao longo do eixo y no caminho x=0 de y=-infty até y=0. Mostre que este trabalho e igual a energia da carga q0 no campo das cargas q1 e q2. Calcule a energia total da configuração de três cargas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de eletrostática onde duas cargas pontuais iguais, e , estão posicionadas ao longo do eixo nos pontos e , respectivamente. A gente precisa calcular o trabalho feito por uma força externa que move uma terceira carga ao longo do eixo , do infinito negativo até a origem . Depois, mostrar que esse trabalho é igual à energia da carga no campo das cargas e , e por fim, calcular a energia total dessa configuração de três cargas.
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de potencial elétrico, trabalho realizado por forças elétricas e energia potencial eletrostática. Vamos precisar das fórmulas do potencial de uma carga pontual e da energia potencial entre cargas elétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é trabalho em eletrostática. O trabalho W = q0 (VB - VA) realizado para mover uma carga W = q0 VB de um ponto A para um ponto B contra o campo elétrico é dado por:
onde e são os potenciais elétricos nos pontos A e B, respectivamente. Como estamos movendo a carga do infinito até a origem, e o potencial no infinito é zero ( ), o trabalho fica:
Então, precisamos calcular o potencial elétrico na origem devido às cargas e .

Passo 3

O potencial elétrico V = k qr devido a uma única carga pontual a uma distância é dado por:
onde é a constante eletrostática ( ).
No nosso caso, temos duas cargas localizadas a uma distância da origem ao longo do eixo . Portanto, a distância de cada carga até a origem é .

Passo 4

O potencial total na origem é a soma dos potenciais criados por cada carga:
Vtotal = V1 + V2 = k qa + k qa = 2 k qa
Então, o potencial na origem devido às duas cargas é .

Passo 5

Agora, aplicando a fórmula do trabalho:
W = q0 Vtotal = q0 ( 2 k qa ) = 2 k q q0a
Então, o trabalho realizado pela força externa ao mover a carga até a origem é .

Passo 6

Esse trabalho realizado é, na verdade, a energia potencial eletrostática da carga U = 2 k q q0a no campo das cargas e . Ou seja:

Passo 7

Finalmente, vamos calcular a energia total da configuração das três cargas. A energia total Utotal = U12 + U10 + U20 é a soma das energias potenciais entre cada par de cargas:
U12 = k q q2a = k q^22a (pois a distância entre q1 e q2 é 2a)
Onde:
  • U10 = U20 = k q q0a é a energia entre Utotal = k q^22a + k q q0a + k q q0a = k q^22a + 2 k q q0a e
  • é a energia entre e
  • é a energia entre e
Calculando cada termo:
âé
Então:

Resposta

O trabalho realizado pela força externa é igual à energia da configuração das três cargas e vale:
Utotal = k q^22a + 2 k q q0a

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