Beleza, vamos calcular o gradiente das três funções que você enviou. O gradiente é um conceito de cálculo multivariável que nos dá a direção de maior aumento de uma função. Para resolver isso, vamos precisar conhecer derivadas parciais e como aplicá-las nas coordenadas adequadas (cartesianas e cilíndricas). Vamos lá!
Passo 2
Função f(x, y, z) = (x² + y²) e^{-z²}
Primeiro, vamos entender que o gradiente de f é um vetor que contém as derivadas parciais de f em relação a cada uma das variáveis: x, y e z.
Aqui, r é o vetor posição no espaço tridimensional, e |r| é a magnitude desse vetor, ou seja, |r| = raizx² + y² + z²²²².
O gradiente de g em coordenadas cartesianas é dado por:
nabla g = ddr(a|r|^4) = -4a r|r|^6 = -4a (x, y, z)(x² + y² + z²)^3 ²²²
Passo 4
Função h(r, φ, z) = r cos²φ
Essa função está em coordenadas cilíndricas, onde r é a distância radial, φ é o ângulo, e z é a altura. O gradiente em coordenadas cilíndricas é dado por:
nabla h = partial hpartial r r + 1r partial hpartial phi phi + partial hpartial z z