Calcule o gradiente das funções
  • f(x, y, z)=(x^2+y^2) e^-z^2
  • g(r)=a||r||^4 onde a= const
  • h(r, phi, z)=r cos ^2 phi

Passo 1

Beleza, vamos calcular o gradiente das três funções que você enviou. O gradiente é um conceito de cálculo multivariável que nos dá a direção de maior aumento de uma função. Para resolver isso, vamos precisar conhecer derivadas parciais e como aplicá-las nas coordenadas adequadas (cartesianas e cilíndricas). Vamos lá!

Passo 2

Função f(x, y, z) = (x² + y²) e^{-z²}
Primeiro, vamos entender que o gradiente de f é um vetor que contém as derivadas parciais de f em relação a cada uma das variáveis: x, y e z.
  • Derivada parcial em relação a x:
    f_x = d/dx [(x² + y²) e^{-z²}] = 2x e^{-z²}
  • Derivada parcial em relação a y:
    f_y = d/dy [(x² + y²) e^{-z²}] = 2y e^{-z²}
  • Derivada parcial em relação a z:
    f_z = d/dz [(x² + y²) e^{-z²}] = (x² + y²) * (-2z) e^{-z²} = -2z(x² + y²)e^{-z²}

Passo 3

Função g(→r) = \frac{a}{|\vec{r}|^{4}}
Aqui, r é o vetor posição no espaço tridimensional, e |r| é a magnitude desse vetor, ou seja, |r| = raizx² + y² + z²²²².
O gradiente de g em coordenadas cartesianas é dado por:
nabla g = ddr(a|r|^4) = -4a r|r|^6 = -4a (x, y, z)(x² + y² + z²)^3 ²²²

Passo 4

Função h(r, φ, z) = r cos²φ
Essa função está em coordenadas cilíndricas, onde r é a distância radial, φ é o ângulo, e z é a altura. O gradiente em coordenadas cilíndricas é dado por:
nabla h = partial hpartial r r + 1r partial hpartial phi phi + partial hpartial z z
Calculando cada derivada:
  • Derivada parcial em relação a r:
    h_r = d/dr [r cos²φ] = cos²φ
  • Derivada parcial em relação a φ:
    h_φ = d/dφ [r cos²φ] = r * 2cosφ * (-sinφ) = -2r cosφ sinφ
  • Derivada parcial em relação a z:
    h_z = d/dz [r cos²φ] = 0 (já que h não depende de z)
Então, o gradiente fica:
nabla h = cos²φ , r - 2cosφ sinφ , phi ²

Resposta

  1. Gradiente de f(x, y, z):
nabla f = ( 2x e^-z^2, 2y e^-z^2, -2z(x^2 + y^2) e^-z^2 )
  1. Gradiente de g(\vec{r}):
nabla g = -4a r|r|^6 = -4a (x, y, z)(x^2 + y^2 + z^2)^3
  1. Gradiente de h(r, φ, z):
nabla h = cos^2phi , r - 2cosphi sinphi , phi

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