Condidere oito cargas pontiformes que ocupam os vértices de um cubo de lado
. Quatro delas são positivas, iguais com valor
e outras quatro são negativas, iguais com valor
. As cargas são distribuidas de tal maneira que em torno de cada carga as cargas vizinhas (mais proximas) tem sinais opostas com relação a dada carga. Calcule a energia eletrostática total de tal configuração . Calcule a energia da carga de prova
colocada no centro do cubo. Qual é o valor do trabalho necessario para transportar a carga de prova de infinito para o centro do cubo?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular algumas coisas envolvendo um cubo com cargas elétricas nos vértices. Temos oito cargas: quatro positivas, cada uma com valor $ q $, e quatro negativas, cada uma com valor $ -q $. Essas cargas estão organizadas de modo que cada carga tem vizinhos próximos com sinal oposto. Vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a energia eletrostática de interações entre cargas, para resolver o problema.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular a energia eletrostática total dessa configuração. A energia eletrostática entre duas cargas é dada pela fórmula:
onde:
- $ U $ é a energia,
- $ k_e $ é a constante eletrostática ($ 8,99 \times 10^9 , N·m²/C² $),
- $ q_i $ e $ q_j $ são os valores das cargas,
- $ r_{ij} $ é a distância entre as cargas $ i $ e $ j $.
No cubo, cada carga está ligada a três outras cargas com sinal oposto nas arestas, e a outras com sinal igual nas diagonais das faces ou do cubo. Precisamos considerar todas essas interações para obter a energia total.
Passo 3
Vamos identificar as diferentes distâncias entre as cargas:
- Aresta do cubo ($ a $): distância entre duas cargas adjacentes.
- Diagonal da face ($ a\sqrt{2} $): distância entre duas cargas na mesma face, mas não adjacentes.
- Diagonal do cubo ($ a\sqrt{3} $): distância entre duas cargas opostas no cubo.
Agora, vamos contar quantas interações existem de cada tipo:
- Arestas do cubo: Cada aresta conecta duas cargas, e como o cubo tem 12 arestas, mas cada interação é contada duas vezes (para cada carga), temos 12 interações únicas.
- Diagonais das faces: Cada face tem duas diagonais, e como o cubo tem 6 faces, temos 12 diagonais de face, mas novamente, cada interação é única.
- Diagonais do cubo: O cubo tem 4 diagonais principais, considerando que cada uma conecta duas cargas opostas.
Passo 4
Agora, vamos considerar os sinais das cargas para determinar se a energia é positiva ou negativa:
- Interações entre cargas de sinais opostos (uma positiva e uma negativa) resultam em energia negativa (atração).
- Interações entre cargas de mesmo sinal resultam em energia positiva (repulsão).
Dado que há igual número de cargas positivas e negativas e estão dispostas alternadamente, as interações ao longo das arestas serão entre sinais opostos, já que cada carga tem vizinhos de sinal oposto nessa direção. Já nas diagonais das faces e do cubo, as interações serão entre cargas de mesmo sinal.
Passo 5
Vamos calcular a energia para cada tipo de interação:
- Arestas do cubo ($ r = a $):
Como temos 12 arestas:
- Diagonais das faces ($ r = a\sqrt{2} $):
Com 12 diagonais de face:
- Diagonais do cubo ($ r = a\sqrt{3} $):
Com 4 diagonais do cubo:
Passo 6
Agora, somamos todas as contribuições para obter a energia eletrostática total:
Substituindo os valores:
Podemos fatorar $ \frac{k_e q^2}{a} $:
Passo 7
Simplificando os termos numéricos:
Portanto:
Passo 8
Agora, vamos calcular a energia da carga de prova $ q_0 $ colocada no centro do cubo. Primeiro, precisamos determinar o potencial elétrico $ V $ no centro devido às oito cargas nos vértices.
A distância do centro do cubo a qualquer vértice é $ r = \frac{a\sqrt{3}}{2} $.
O potencial devido a uma carga $ q $ a uma distância $ r $ é:
Como há quatro cargas $ q $ e quatro $ -q $, e os sinais se alternam, o potencial total no centro será:
Portanto, o potencial no centro é zero.
Passo 9
Com o potencial no centro sendo zero, a energia da carga de prova $ q_0 $ colocada no centro é:
Passo 10
Finalmente, para calcular o trabalho necessário para transportar a carga de prova $ q_0 $ de infinito até o centro do cubo, usamos a relação:
Como $ U_{inicial} $ no infinito é zero e $ U_{final} $ no centro também é zero:
Resposta
A energia eletrostática total da configuração é aproximadamente $ U_{total} \approx -5,8241 \cdot \frac{k_e q^2}{a} $. A energia da carga de prova $ q_{0} $ colocada no centro do cubo é zero, e o trabalho necessário para transportar essa carga de prova do infinito para o centro do cubo também é zero.