Duas cargas fixas, +1.07 mu C e -3.28 mu C, estão separadas por 61.8 cm . Onde uma terceira carga pode ser posicionada para que a força resultante que age sobre ela seja nula?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos duas cargas fixas: uma positiva de e uma negativa de , separadas por 61,8 cm. Nosso objetivo é descobrir em qual ponto podemos colocar uma terceira carga de forma que a força resultante sobre ela seja nula. Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a Lei de Coulomb, que nos ajuda a calcular a força entre cargas elétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a força elétrica entre duas cargas é dada pela Lei de Coulomb:
F = k cdot |Q1 cdot Q2|r^2
Onde:
  • é a força entre as cargas,
  • é a constante de Coulomb ( ),
  • e são as magnitudes das cargas,
  • é a distância entre elas.
Nossa terceira carga vai sentir a força das duas cargas fixas. Para que a força resultante seja nula, as forças exercidas por cada uma das cargas fixas na terceira carga devem ser iguais em magnitude e opostas em direção.

Passo 3

Vamos chamar a posição onde colocaremos a terceira carga de F1 = k cdot Q1 cdot Q3x^2 , medida a partir da carga F2 = k cdot Q2 cdot Q3(61,8 - x)^2 . Assim, a distância da terceira carga até a carga Q1x^2 = Q2(61,8 - x)^2 será .
Aplicando a Lei de Coulomb para cada interação:
Como queremos que , podemos igualar as duas expressões:

Passo 4

Substituindo os valores das cargas:
1,07 times 10^-6, Cx^2 = 3,28 times 10^-6, C(61,8 - x)^2
Observamos que ignorei os sinais das cargas, pois estamos interessados nas magnitudes para igualar as forças.

Passo 5

Vamos resolver a equação para 1,07x^2 = 3,28(61,8 - x)^2 . Primeiro, simplificamos:
1,07 cdot (61,8 - x)^2 = 3,28 cdot x^2
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 6

Expandindo 1,07 cdot (61,8^2 - 2 cdot 61,8 cdot x + x^2) = 3,28 cdot x^2 :
1,07 cdot 3810,24 - 1,07 cdot 123,6 cdot x + 1,07 cdot x^2 = 3,28 cdot x^2
4077,55 - 132,012 cdot x + 1,07 cdot x^2 = 3,28 cdot x^2

Passo 7

Levar todos os termos para um lado da equação:
4077,55 - 132,012 cdot x + 1,07 cdot x^2 - 3,28 cdot x^2 = 0
4077,55 - 132,012 cdot x - 2,21 cdot x^2 = 0
Reorganizando:
-2,21 cdot x^2 - 132,012 cdot x + 4077,55 = 0
Multiplicando por -1 para simplificar:
2,21 cdot x^2 + 132,012 cdot x - 4077,55 = 0

Passo 8

Agora, temos uma equação quadrática na forma x = -b pm raizb^2 - 4ac2a . Podemos resolver para usando a fórmula de Bhaskara:
Onde:

Passo 9

Calculando o discriminante ( De):
De
x = -132,012 pm raiz53441,90442 cdot 2,21
Como x = -132,012 pm 231,244,42 , temos duas soluções reais:

Passo 10

Calculando as duas possíveis soluções:
  1. Com o sinal positivo:
x = -132,012 + 231,244,42 = 99,2284,42 approx 22,46, cm
  1. Com o sinal negativo:
x = -132,012 - 231,244,42 = -363,2524,42 approx -82,3, cm

Resposta

A terceira carga deve ser posicionada a aproximadamente 22,46 cm à direita da carga para que a força resultante sobre ela seja nula.

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