Duas cargas fixas, e , estão separadas por 61.8 cm . Onde uma terceira carga pode ser posicionada para que a força resultante que age sobre ela seja nula?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos duas cargas fixas: uma positiva de e uma negativa de , separadas por 61,8 cm. Nosso objetivo é descobrir em qual ponto podemos colocar uma terceira carga de forma que a força resultante sobre ela seja nula. Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a Lei de Coulomb, que nos ajuda a calcular a força entre cargas elétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a força elétrica entre duas cargas é dada pela Lei de Coulomb:
Onde:
  • é a força entre as cargas,
  • é a constante de Coulomb ( ),
  • e são as magnitudes das cargas,
  • é a distância entre elas.
Nossa terceira carga vai sentir a força das duas cargas fixas. Para que a força resultante seja nula, as forças exercidas por cada uma das cargas fixas na terceira carga devem ser iguais em magnitude e opostas em direção.

Passo 3

Vamos chamar a posição onde colocaremos a terceira carga de , medida a partir da carga . Assim, a distância da terceira carga até a carga será .
Aplicando a Lei de Coulomb para cada interação:
Como queremos que , podemos igualar as duas expressões:

Passo 4

Substituindo os valores das cargas:
Observamos que ignorei os sinais das cargas, pois estamos interessados nas magnitudes para igualar as forças.

Passo 5

Vamos resolver a equação para . Primeiro, simplificamos:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 6

Expandindo :

Passo 7

Levar todos os termos para um lado da equação:
Reorganizando:
Multiplicando por -1 para simplificar:

Passo 8

Agora, temos uma equação quadrática na forma . Podemos resolver para usando a fórmula de Bhaskara:
Onde:

Passo 9

Calculando o discriminante ( ):
Como , temos duas soluções reais:

Passo 10

Calculando as duas possíveis soluções:
  1. Com o sinal positivo:
  1. Com o sinal negativo:

Resposta

A terceira carga deve ser posicionada a aproximadamente 22,46 cm à direita da carga para que a força resultante sobre ela seja nula.

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