Um objeto de 2,2 kg oscila sob a ação de uma mola (constante elástica ) com período de . Esse sistema é amortecido? Como você sabe disso? Se for amortecido, encontre a constante de amortecimento e indique o tipo de amortecimento: subcrítico, crítico ou supercrítico.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um objeto de 2,2 kg que está oscilando em uma mola com constante elástica de 250 N/m e um período de 0,615 s. O que queremos descobrir é se esse sistema está amortecido, como saber isso, e se estiver, encontrar a constante de amortecimento e identificar o tipo de amortecimento: subcrítico, crítico ou supercrítico. Para resolver isso, vamos mexer com conceitos de oscilações e amortecimento em sistemas massa-mola.

Passo 2

Primeiro, lembra que o período de um sistema massa-mola sem amortecimento é dado por:
Onde:
  • é a massa (2,2 kg)
  • é a constante da mola (250 N/m)
Vamos calcular esse período teórico sem considerar o amortecimento para comparar com o período dado e ver se há diferença.

Passo 3

Vamos calcular o período teórico:
ó
Primeiro, calculamos a razão dentro da raiz:
Agora, a raiz quadrada:
Multiplicando por :
ó

Passo 4

O período dado no problema é 0,615 s, que é um pouco maior que o período teórico sem amortecimento (0,5896 s). Isso indica que há amortecimento no sistema, já que o amortecimento tende a aumentar o período das oscilações.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a constante de amortecimento . Para isso, usamos a fórmula que relaciona o período com o amortecimento:
Onde é a frequência angular amortecida, dada por:
E é a frequência angular sem amortecimento:
Primeiro, calculamos :

Passo 6

Agora, usamos o período dado para encontrar :
Agora, sabemos que:
Vamos substituir os valores que temos:

Passo 7

Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Calculando os quadrados:
Isolando o termo com :
Calculando a raiz:
Multiplicando ambos os lados por 4,4:

Passo 8

Agora que temos , vamos determinar o tipo de amortecimento. Para isso, calculamos o discriminante:
Onde:
Calculando :
Agora, calculamos :

Passo 9

Com :
  • Se , é amortecimento subcrítico
  • Se , é amortecimento crítico
  • Se , é amortecimento supercrítico
Como , o sistema está com amortecimento subcrítico.

Resposta

Sim, o sistema está amortecido com uma constante de amortecimento e apresenta um amortecimento subcrítico.

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