Um objeto de 2,2 kg oscila sob a ação de uma mola (constante elástica 250 N / m ) com período de 0,615 s. Esse sistema é amortecido? Como você sabe disso? Se for amortecido, encontre a constante de amortecimento b e indique o tipo de amortecimento: subcrítico, crítico ou supercrítico.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um objeto de 2,2 kg que está oscilando em uma mola com constante elástica de 250 N/m e um período de 0,615 s. O que queremos descobrir é se esse sistema está amortecido, como saber isso, e se estiver, encontrar a constante de amortecimento e identificar o tipo de amortecimento: subcrítico, crítico ou supercrítico. Para resolver isso, vamos mexer com conceitos de oscilações e amortecimento em sistemas massa-mola.

Passo 2

Primeiro, lembra que o período T = 2pi raizmk de um sistema massa-mola sem amortecimento é dado por:
Onde:
  • é a massa (2,2 kg)
  • é a constante da mola (250 N/m)
Vamos calcular esse período teórico sem considerar o amortecimento para comparar com o período dado e ver se há diferença.

Passo 3

Vamos calcular o período teórico:
Tteórico = 2pi raiz2,2250 ó
Primeiro, calculamos a razão dentro da raiz:
2,2250 = 0,0088
Agora, a raiz quadrada:
raiz0,0088 approx 0,0938
Multiplicando por Tteórico approx 2 times 3,1416 times 0,0938 approx 0,5896 , s :
ó

Passo 4

O período dado no problema é 0,615 s, que é um pouco maior que o período teórico sem amortecimento (0,5896 s). Isso indica que há amortecimento no sistema, já que o amortecimento tende a aumentar o período das oscilações.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a constante de amortecimento T = 2piomegad . Para isso, usamos a fórmula que relaciona o período com o amortecimento:
omegad = raizomega0^2 - (b2m)^2
Onde omega0 = raizkm é a frequência angular amortecida, dada por:
omega0 = raiz2502,2 approx raiz113,636 approx 10,66 , rad/s
E é a frequência angular sem amortecimento:
Primeiro, calculamos :

Passo 6

Agora, usamos o período dado para encontrar T = 2piomegad Rightarrow omegad = 2piT = 2 times 3,14160,615 approx 10,22 , rad/s :
omegad = raizomega0^2 - (b2m)^2
Agora, sabemos que:
10,22 = raiz10,66^2 - (b2 times 2,2)^2
Vamos substituir os valores que temos:

Passo 7

Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
10,22^2 = 10,66^2 - (b4,4)^2
Calculando os quadrados:
104,44 = 113,64 - (b4,4)^2
Isolando o termo com (b4,4)^2 = 113,64 - 104,44 = 9,2 :
b4,4 = raiz9,2 approx 3,033
Calculando a raiz:
b approx 3,033 times 4,4 approx 13,33 , kg/s
Multiplicando ambos os lados por 4,4:

Passo 8

Agora que temos zeta = b2raizmk , vamos determinar o tipo de amortecimento. Para isso, calculamos o discriminante:
2raiz2,2 times 250 = 2raiz550 approx 2 times 23,45 approx 46,9
Onde:
  • zeta = 13,3346,9 approx 0,284
Calculando :
Agora, calculamos :

Passo 9

Com :
  • Se , é amortecimento subcrítico
  • Se , é amortecimento crítico
  • Se , é amortecimento supercrítico
Como , o sistema está com amortecimento subcrítico.

Resposta

Sim, o sistema está amortecido com uma constante de amortecimento e apresenta um amortecimento subcrítico.

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