Um objeto de 2,2 kg oscila sob a ação de uma mola (constante elástica
) com período de
. Esse sistema é amortecido? Como você sabe disso? Se for amortecido, encontre a constante de amortecimento
e indique o tipo de amortecimento: subcrítico, crítico ou supercrítico.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um objeto de 2,2 kg que está oscilando em uma mola com constante elástica de 250 N/m e um período de 0,615 s. O que queremos descobrir é se esse sistema está amortecido, como saber isso, e se estiver, encontrar a constante de amortecimento
e identificar o tipo de amortecimento: subcrítico, crítico ou supercrítico. Para resolver isso, vamos mexer com conceitos de oscilações e amortecimento em sistemas massa-mola.
Passo 2
Primeiro, lembra que o período
de um sistema massa-mola sem amortecimento é dado por:
Onde:
-
é a massa (2,2 kg) -
é a constante da mola (250 N/m)
Vamos calcular esse período teórico sem considerar o amortecimento para comparar com o período dado e ver se há diferença.
Passo 3
Vamos calcular o período teórico:
Primeiro, calculamos a razão dentro da raiz:
Agora, a raiz quadrada:
Multiplicando por
:
Passo 4
O período dado no problema é 0,615 s, que é um pouco maior que o período teórico sem amortecimento (0,5896 s). Isso indica que há amortecimento no sistema, já que o amortecimento tende a aumentar o período das oscilações.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a constante de amortecimento
. Para isso, usamos a fórmula que relaciona o período com o amortecimento:
Onde
é a frequência angular amortecida, dada por:
E
é a frequência angular sem amortecimento:
Primeiro, calculamos
:
Passo 6
Agora, usamos o período dado para encontrar
:
Agora, sabemos que:
Vamos substituir os valores que temos:
Passo 7
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Calculando os quadrados:
Isolando o termo com
:
Calculando a raiz:
Multiplicando ambos os lados por 4,4:
Passo 8
Agora que temos
, vamos determinar o tipo de amortecimento. Para isso, calculamos o discriminante:
Onde:
Calculando
:
Agora, calculamos
:
Passo 9
Com
:
- Se
, é amortecimento subcrítico - Se
, é amortecimento crítico - Se
, é amortecimento supercrítico
Como
, o sistema está com amortecimento subcrítico.
Resposta
Sim, o sistema está amortecido com uma constante de amortecimento
e apresenta um amortecimento subcrítico.
Exercícios relacionados
Duas cargas fixas,
e
, estão separadas por 61.8 cm . Onde uma terceira carga pode ser posicionada para que a força resultante que age sobre ela seja nula?
Três cargas puntiformes estão apoiadas sobre o eixo
está na origem,
está na posição
e
está em uma posição x arbitrária
. Determine a força resultante sobre
devido a
e
se
,
e
.
O movimento de um oscilador sub-amortecimento é descrito pela equação
, na qual
e fizemos a fase
para simplificar.
© O que esse resultado informa sobre a inclinação do gráfico de ?
© O que esse resultado informa sobre a inclinação do gráfico de
Mostre que
é solução da equação do movimento do oscilador criticamente amortecido. Ou seja, mostre que essa equação horária resolve a equação
desde que
.
Isto é, o valor da envoltória do termo que oscila em
.