O movimento de um oscilador sub-amortecimento é descrito pela equação x(t)= A e^-gamma t / 2 cos (omega t), na qual A>0 e fizemos a fase phi=0 para simplificar.
© O que esse resultado informa sobre a inclinação do gráfico de x(t) em t=0 ?

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos a equação que descreve o movimento de um oscilador sub-amortecido:
x(t) = A e^-gamma t2 cos(omega t)
Aqui, e a fase foi escolhida para simplificar. O que a questão quer é saber o que essa equação nos diz sobre a inclinação do gráfico de no instante . Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada de em relação ao tempo e avaliar essa derivada em . A derivada nos dá a taxa de variação de em relação a , ou seja, a inclinação da curva naquele ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de dx(t)dt = ddt( A e^-gamma t2 ) cdot cos(omega t) + A e^-gamma t2 cdot ddt( cos(omega t) ) em relação a ddt( A e^-gamma t2 ) = A cdot ( -gamma2 ) e^-gamma t2 = -gamma A2 e^-gamma t2 . Para isso, usaremos a regra do produto e a regra da cadeia, já que ddt( cos(omega t) ) = -omega sin(omega t) é o produto de dx(t)dt = -gamma A2 e^-gamma t2 cos(omega t) - A e^-gamma t2 omega sin(omega t) e .
A derivada de é:
Calculando cada parte:
  1. Derivada de :
  1. Derivada de :
Substituindo de volta na expressão da derivada:

Passo 3

Agora, queremos saber a inclinação do gráfico de dx(t)dt |t=0 = -gamma A2 e^0 cos(0) - A e^0 omega sin(0) no instante dx(t)dt |t=0 = -gamma A2 cdot 1 cdot 1 - A cdot 1 cdot 0 = -gamma A2 . Para isso, avaliamos a derivada em :
Simplificando:
Portanto:

Resposta

A inclinação do gráfico de em é .

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