Duas cargas positivas de intensidade Q são mantidas fixas com separação D ao longo da direção x . Uma partícula de massa m e carga também positiva de intensidade q é posicionada na direção x , exatamente a meio caminho das cargas. Uma vez atingido o equilíbrio, é dado um pequeno deslocamento na direção x sobre a partícula, que é então liberada. Mostre que a partícula desenvolverá um movimento oscilatório com freqüência
omega=raiz8 q Qpi epsilon0 m D^3

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas cargas positivas de intensidade omega = raiz8 q Qpi epsilon0 m D^3 fixadas na direção x, separadas por uma distância . No meio desse espaço, colocamos uma partícula com massa e carga também positiva. Quando essa partícula está em equilíbrio e a deslocamos um pouquinho na direção x e a soltamos, ela começa a oscilar. Nosso objetivo é mostrar que a frequência dessas oscilações é dada por:
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletricidade estática, especialmente a Lei de Coulomb, e entender como forças restauradoras funcionam em movimentos oscilatórios.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças atuando na partícula quando ela está no ponto de equilíbrio. Como as duas cargas são iguais e fixas, elas exercem forças elétricas sobre a carga . No ponto de equilíbrio, essas forças se cancelam porque são iguais em magnitude e opostas em direção.

Passo 3

Agora, vamos imaginar que a partícula é deslocada um pequeno tanto para a direita. Com esse deslocamento, as forças das cargas não se cancelam mais exatamente. A carga à direita de vai empurrá-la ainda mais para a direita, enquanto a carga à esquerda vai empurrá-la para a esquerda, mas a força resultante vai atuar como uma força restauradora, tentando trazer de volta ao ponto de equilíbrio.

Passo 4

Para encontrar essa força restauradora, vamos calcular a diferença nas forças das duas cargas F = k qQr^2 sobre após o deslocamento. Usamos a Lei de Coulomb:
onde e é a distância entre as cargas.

Passo 5

Considerando um pequeno deslocamento F = k q Q ( 1(D2 - x)^2 - 1(D2 + x)^2 ) da posição de equilíbrio, a distância entre e cada passa a ser . A força total restauradora é a diferença entre as duas forças:

Passo 6

Assumindo que F approx k q Q ( 4xD^3 ) = 4 k q Q xD^3 é muito pequeno comparado a , podemos aproximar usando uma expansão em série e considerar apenas os termos lineares em :
Essa é uma força restauradora proporcional a , característica de um movimento harmônico.

Passo 7

Sabemos que, para um movimento harmônico simples, a força restauradora é 4 k q Q xD^3 = m omega^2 x . Igualando às nossas expressões:
omega^2 = 4 k q Qm D^3
Podemos simplificar dos dois lados:

Passo 8

Substituindo omega^2 = 4 cdot 14pi epsilon0 cdot q Qm D^3 = q Qpi epsilon0 m D^3 na equação:
omega = raiz8 q Qpi epsilon0 m D^3
Multiplicando ambos os lados por 8:

Resposta

A frequência das oscilações é:
omega = raiz8 q Qpi epsilon0 m D^3

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