Duas cargas positivas de intensidade Q são mantidas fixas com separação D ao longo da direção x . Uma partícula de massa m e carga também positiva de intensidade q é posicionada na direção x , exatamente a meio caminho das cargas. Uma vez atingido o equilíbrio, é dado um pequeno deslocamento na direção x sobre a partícula, que é então liberada. Mostre que a partícula desenvolverá um movimento oscilatório com freqüência
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas cargas positivas de intensidade
fixadas na direção x, separadas por uma distância
. No meio desse espaço, colocamos uma partícula com massa
e carga
também positiva. Quando essa partícula está em equilíbrio e a deslocamos um pouquinho na direção x e a soltamos, ela começa a oscilar. Nosso objetivo é mostrar que a frequência dessas oscilações é dada por:
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletricidade estática, especialmente a Lei de Coulomb, e entender como forças restauradoras funcionam em movimentos oscilatórios.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças atuando na partícula quando ela está no ponto de equilíbrio. Como as duas cargas
são iguais e fixas, elas exercem forças elétricas sobre a carga
. No ponto de equilíbrio, essas forças se cancelam porque são iguais em magnitude e opostas em direção.
Passo 3
Agora, vamos imaginar que a partícula
é deslocada um pequeno tanto para a direita. Com esse deslocamento, as forças das cargas
não se cancelam mais exatamente. A carga à direita de
vai empurrá-la ainda mais para a direita, enquanto a carga à esquerda vai empurrá-la para a esquerda, mas a força resultante vai atuar como uma força restauradora, tentando trazer
de volta ao ponto de equilíbrio.
Passo 4
Para encontrar essa força restauradora, vamos calcular a diferença nas forças das duas cargas
sobre
após o deslocamento. Usamos a Lei de Coulomb:
onde
e
é a distância entre as cargas.
Passo 5
Considerando um pequeno deslocamento
da posição de equilíbrio, a distância entre
e cada
passa a ser
. A força total restauradora
é a diferença entre as duas forças:
Passo 6
Assumindo que
é muito pequeno comparado a
, podemos aproximar usando uma expansão em série e considerar apenas os termos lineares em
:
Essa é uma força restauradora proporcional a
, característica de um movimento harmônico.
Passo 7
Sabemos que, para um movimento harmônico simples, a força restauradora é
. Igualando às nossas expressões:
Podemos simplificar
dos dois lados:
Passo 8
Substituindo
na equação:
Multiplicando ambos os lados por 8:
Resposta
A frequência das oscilações é: