Duas cargas positivas +q separadas por uma distância 2 D. No ponto médio do segmento que une as cargas coloca-se uma carga -q. Desloca-se -q levemente da sua posição de equilibrio, de tal forma que ela passa a oscilar em torno da posição de equilibrio mantendo-se sobre a mediatriz do segmento que une as cargas +q. Determine o periodo da oscilação, considerando que a perturbação em -q seja muito pequena. Todas as cargas têm massa m.
Adote: para ângulos pequenos vale a aproximação: sen alpha cong tg alpha cong alpha(rad)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas cargas positivas iguais a separadas por uma distância de . No ponto meio entre elas, colocamos uma carga negativa . Se deslocarmos essa carga negativa levemente de sua posição de equilíbrio, ela vai oscilar em volta desse ponto. A gente precisa descobrir qual é o período dessa oscilação, assumindo que o deslocamento é bem pequeno. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de forças elétricas e movimento harmônico simples.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças que atuam na carga quando ela está deslocada. Existem duas forças elétricas das cargas . Como a carga é negativa e as cargas são positivas, as forças vão atrair a carga de volta para o ponto médio.

Passo 3

Vamos calcular a força elétrica devido a uma das cargas F = ke |q1 q2|r^2 . A formula da força elétrica entre duas cargas é dada por:
onde é a constante eletrostática ( ²²), e são as cargas, e é a distância entre elas.

Passo 4

Quando a carga está deslocada uma distância em relação ao ponto médio, a distância entre e cada fica . Mas como é muito pequeno, podemos aproximar usando a expansão de Taylor para pequenos .

Passo 5

Aplicando a aproximação, a força elétrica de cada F approx ke q^2D^2 sobre fica aproximadamente:
Essa força está direcionada para o ponto médio, mas como a carga foi deslocada, temos que considerar apenas a componente da força que age como uma força restauradora.

Passo 6

Para pequenas oscilações, podemos usar a aproximação de que o ângulo formado pelo deslocamento Frest = 2F cdot xD = 2 ( ke q^2D^2 ) xD = 2 ke q^2D^3 x e a distância é pequeno, ou seja, . A componente da força que atua na direção do deslocamento é:

Passo 7

Sabemos que no movimento harmônico simples, a força restauradora é dada por 2 ke q^2D^3 x = m d^2xdt^2 , onde m d^2xdt^2 + 2 ke q^2D^3 x = 0 é a constante elástica. Comparando com a força que encontramos:
Isso nos leva à equação diferencial do movimento harmônico simples:

Passo 8

A equação do movimento harmônico simples tem a forma omega^2 = 2 ke q^2m D^3 , onde omega = raiz2 ke q^2m D^3 é a frequência angular. Comparando as equações, temos:
Portanto, a frequência angular é:

Passo 9

O período T = 2piomega da oscilação está relacionado à frequência angular pela fórmula:
T = 2pi raizm D^32 ke q^2
Substituindo :

Resposta

O período da oscilação é dado por:
T = 2pi raizm D^32 ke q^2

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