Duas cargas positivas
separadas por uma distância
. No ponto médio do segmento que une as cargas coloca-se uma carga
. Desloca-se
levemente da sua posição de equilibrio, de tal forma que ela passa a oscilar em torno da posição de equilibrio mantendo-se sobre a mediatriz do segmento que une as cargas
. Determine o periodo da oscilação, considerando que a perturbação em
seja muito pequena. Todas as cargas têm massa
.
Adote: para ângulos pequenos vale a aproximação:
Adote: para ângulos pequenos vale a aproximação:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas cargas positivas iguais a
separadas por uma distância de
. No ponto meio entre elas, colocamos uma carga negativa
. Se deslocarmos essa carga negativa levemente de sua posição de equilíbrio, ela vai oscilar em volta desse ponto. A gente precisa descobrir qual é o período dessa oscilação, assumindo que o deslocamento é bem pequeno. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de forças elétricas e movimento harmônico simples.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças que atuam na carga
quando ela está deslocada. Existem duas forças elétricas das cargas
. Como a carga
é negativa e as cargas
são positivas, as forças vão atrair a carga
de volta para o ponto médio.
Passo 3
Vamos calcular a força elétrica devido a uma das cargas
. A formula da força elétrica entre duas cargas é dada por:
onde
é a constante eletrostática (
),
e
são as cargas, e
é a distância entre elas.
Passo 4
Quando a carga
está deslocada uma distância
em relação ao ponto médio, a distância entre
e cada
fica
. Mas como
é muito pequeno, podemos aproximar
usando a expansão de Taylor para pequenos
.
Passo 5
Aplicando a aproximação, a força elétrica de cada
sobre
fica aproximadamente:
Essa força está direcionada para o ponto médio, mas como a carga foi deslocada, temos que considerar apenas a componente da força que age como uma força restauradora.
Passo 6
Para pequenas oscilações, podemos usar a aproximação de que o ângulo formado pelo deslocamento
e a distância
é pequeno, ou seja,
. A componente da força que atua na direção do deslocamento
é:
Passo 7
Sabemos que no movimento harmônico simples, a força restauradora é dada por
, onde
é a constante elástica. Comparando com a força que encontramos:
Isso nos leva à equação diferencial do movimento harmônico simples:
Passo 8
A equação do movimento harmônico simples tem a forma
, onde
é a frequência angular. Comparando as equações, temos:
Portanto, a frequência angular
é:
Passo 9
O período
da oscilação está relacionado à frequência angular pela fórmula:
Substituindo
:
Resposta
O período da oscilação é dado por: