Problema 7. Considere uma espira circular fina e condutora de raio R localizada no plano X Y. A espira está imersa em uma região onde existe um campo magnético uniforme, porém não estacionário, descrito por B= a t(b-t) z, onde a e b são constantes positivas. Para t=34 b:
(b) Estabeleça o sentido da corrente induzida (horário ou anti-horário).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma espira circular fina no plano XY com raio . Essa espira está em um campo magnético que muda com o tempo, dado por , onde e são constantes positivas. Queremos descobrir o sentido da corrente induzida na espira quando .
Para resolver isso, vamos precisar entender a Lei de Faraday da Indução Eletromagnética e a Lei de Lenz. A Lei de Faraday nos diz que uma variação no fluxo magnético induz uma força eletromotriz (fem) na espira, gerando uma corrente. A Lei de Lenz nos ajuda a determinar o sentido dessa corrente, dizendo que ela sempre se opõe à causa que a produziu.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o fluxo magnético PhiB = B cdot A através da espira. O fluxo magnético é dado por:
PhiB = B cdot A = a t(b - t) cdot pi R^2
Como o campo magnético está na direção e a área da espira também está na direção , o fluxo magnético simplifica para:
Onde é a área da espira.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a taxa de variação do fluxo magnético em relação ao tempo, que é a derivada de dPhiBdt = ddt ( a t(b - t) pi R^2 ) = a pi R^2 ddt ( t(b - t) ) em relação a ddt ( t(b - t) ) = b - 2t :
dPhiBdt = a pi R^2 (b - 2t)
Calculando a derivada dentro:
Portanto,

Passo 4

A força eletromotriz induzida E = -dPhiBdt = -a pi R^2 (b - 2t) é dada pela Lei de Faraday:
E = -a pi R^2 ( b - 2 cdot 34 b ) = -a pi R^2 ( b - 32 b ) = -a pi R^2 ( -12 b ) = 12 a b pi R^2
Agora, vamos avaliar isso no tempo :
A fem é positiva, o que indica que a corrente induzida cria um campo magnético que se opõe à variação do fluxo original.

Passo 5

De acordo com a Lei de Lenz, a corrente induzida deve gerar um campo magnético que contrarie a mudança no fluxo original. No nosso caso, o fluxo está diminuindo porque é negativo (já que com dá negativo).
Para contrapor essa diminuição, o campo magnético criado pela corrente induzida deve apontar na mesma direção que o campo original .
Usando a regra da mão direita, se o campo induzido está para cima ( ), a corrente deve circular anti-horariamente.

Resposta

A corrente induzida na espira circula no sentido anti-horário.

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