Duas cargas puntiformes
e -q estão separadas por uma distância L. (a) Em que ponto, ao longo da linha que une as cargas, o campo elétrico será zero? Sugestão: considere que a carga
está na origem. (b) Calcule o potencial elétrico no ponto encontrado na questão (a).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas cargas elétricas pontuais: uma de +2q e outra de -q, separadas por uma distância L. A gente vai usar conhecimentos de campo elétrico e potencial elétrico para resolver as duas partes da questão. Primeiro, vamos descobrir onde o campo elétrico resultante entre essas duas cargas será zero. Depois, vamos calcular o potencial elétrico nesse ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é campo elétrico. O campo elétrico gerado por uma carga pontual é dado pela fórmula:
onde:
-
é o campo elétrico, -
é a constante eletrostática ( ), -
é a carga, -
é a distância do ponto onde estamos calculando o campo até a carga.
Queremos encontrar o ponto ao longo da linha que une as duas cargas onde o campo elétrico total é zero. Isso acontece quando os campos elétricos gerados por cada carga se anulam.
Passo 3
Vamos posicionar a carga +2q na origem (ponto 0) e a carga -q na posição L. Vamos chamar a distância desse ponto desconhecido até a carga +2q de
. Então, a distância até a carga -q será
.
Os campos elétricos de cada carga no ponto onde queremos que seja zero serão:
Como uma carga é positiva e a outra é negativa, os campos elétricos têm direções opostas. Para que se anulem, a magnitude de
deve ser igual à magnitude de
:
Passo 4
Podemos simplificar essa equação cancelando
dos dois lados:
Agora, vamos resolver para
. Primeiro, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Agora, vamos agrupar os termos com
:
Finalmente, isolamos
:
Passo 5
Podemos simplificar essa expressão multiplicando o numerador e o denominador por
para racionalizar o denominador:
Então, o ponto onde o campo elétrico é zero está a uma distância de
da carga +2q.
Passo 6
Agora, vamos calcular o potencial elétrico nesse ponto. O potencial elétrico devido a uma carga pontual é dado por:
O potencial total no ponto será a soma dos potenciais devido a cada carga. Lembre-se que o potencial é escalar, então consideramos os sinais das cargas.
Primeiro, calculamos o potencial devido à carga +2q:
Depois, o potencial devido à carga -q:
Passo 7
Somando os dois potenciais:
Podemos simplificar essa expressão encontrando um denominador comum ou fatorando
:
Esse cálculo pode ser simplificado ainda mais, mas já temos a expressão do potencial elétrico no ponto onde o campo é zero.
Resposta
O campo elétrico será zero a uma distância de
da carga +2q, e o potencial elétrico nesse ponto é dado por: