Duas cargas puntiformes +2 q e -q estão separadas por uma distância L. (a) Em que ponto, ao longo da linha que une as cargas, o campo elétrico será zero? Sugestão: considere que a carga +2 q está na origem. (b) Calcule o potencial elétrico no ponto encontrado na questão (a).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas cargas elétricas pontuais: uma de +2q e outra de -q, separadas por uma distância L. A gente vai usar conhecimentos de campo elétrico e potencial elétrico para resolver as duas partes da questão. Primeiro, vamos descobrir onde o campo elétrico resultante entre essas duas cargas será zero. Depois, vamos calcular o potencial elétrico nesse ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é campo elétrico. O campo elétrico gerado por uma carga pontual é dado pela fórmula:
E = k cdot Qr^2
onde:
  • é o campo elétrico,
  • é a constante eletrostática ( ²²),
  • é a carga,
  • é a distância do ponto onde estamos calculando o campo até a carga.
Queremos encontrar o ponto ao longo da linha que une as duas cargas onde o campo elétrico total é zero. Isso acontece quando os campos elétricos gerados por cada carga se anulam.

Passo 3

Vamos posicionar a carga +2q na origem (ponto 0) e a carga -q na posição L. Vamos chamar a distância desse ponto desconhecido até a carga +2q de E+2q = k cdot 2qx^2 . Então, a distância até a carga -q será E-q = k cdot q(L - x)^2 .
Os campos elétricos de cada carga no ponto onde queremos que seja zero serão:
2kqx^2 = kq(L - x)^2
Como uma carga é positiva e a outra é negativa, os campos elétricos têm direções opostas. Para que se anulem, a magnitude de deve ser igual à magnitude de :

Passo 4

Podemos simplificar essa equação cancelando 2x^2 = 1(L - x)^2 dos dois lados:
raiz2x^2 = raiz1(L - x)^2
Agora, vamos resolver para raiz2x = 1L - x . Primeiro, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
raiz2(L - x) = x
raiz2L - raiz2x = x
Multiplicando ambos os lados por raiz2L = x + raiz2x para eliminar os denominadores:
raiz2L = x(1 + raiz2)
x = raiz2L1 + raiz2
Agora, vamos agrupar os termos com :
Finalmente, isolamos :

Passo 5

Podemos simplificar essa expressão multiplicando o numerador e o denominador por x = raiz2L(1 - raiz2)(1 + raiz2)(1 - raiz2) para racionalizar o denominador:
x = raiz2L - 2L1 - 2
x = (raiz2 - 2)L-1
x = (2 - raiz2)L
Então, o ponto onde o campo elétrico é zero está a uma distância de da carga +2q.

Passo 6

Agora, vamos calcular o potencial elétrico nesse ponto. O potencial elétrico devido a uma carga pontual é dado por:
V = k cdot Qr
O potencial total no ponto será a soma dos potenciais devido a cada carga. Lembre-se que o potencial é escalar, então consideramos os sinais das cargas.
Primeiro, calculamos o potencial devido à carga +2q:
V+2q = k cdot 2qx = 2kq(2 - raiz2)L
Depois, o potencial devido à carga -q:
V-q = k cdot (-q)L - x = -kqL - (2 - raiz2)L = -kq(raiz2 - 1)L

Passo 7

Somando os dois potenciais:
V = V+2q + V-q
V = 2kq(2 - raiz2)L - kq(raiz2 - 1)L
Podemos simplificar essa expressão encontrando um denominador comum ou fatorando V = kqL ( 22 - raiz2 - 1raiz2 - 1 ) :
Esse cálculo pode ser simplificado ainda mais, mas já temos a expressão do potencial elétrico no ponto onde o campo é zero.

Resposta

O campo elétrico será zero a uma distância de V = kqL ( 22 - raiz2 - 1raiz2 - 1 ) da carga +2q, e o potencial elétrico nesse ponto é dado por:

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