Calcule o rotacional dos campos abaixo e responda: são conservativos?
Dica: um campo é conservativo se seu rotacional for nulo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre calcular o rotacional de dois campos vetoriais e descobrir se eles são conservativos. A matéria que vamos precisar aqui é cálculo vetorial, especificamente o conceito de rotacional (ou curl) e campos conservativos. Para isso, vamos precisar saber a fórmula do rotacional e entender o que significa um campo ser conservativo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o rotacional do campo
. O campo
é dado por:
A fórmula do rotacional de um campo vetorial
é:
Vamos aplicar isso ao
:
Calculando cada componente:
Então:
Como o rotacional de
é zero, isso indica que o campo
é conservativo.
Passo 3
Agora, vamos calcular o rotacional do campo
. O campo
é dado por:
Aqui, não temos a componente
, então vamos considerar
. Aplicando a fórmula do rotacional:
Calculando cada componente:
Então:
Como o rotacional de
n��o é zero, isso significa que o campo
não é conservativo.
Resposta
- O rotacional de
é , portanto, é conservativo. - O rotacional de
é , portanto, não é conservativo.
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yields the result
.
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Show that this is equivalent to the complex expression