Calcule o rotacional dos campos abaixo e responda: são conservativos?
Dica: um campo é conservativo se seu rotacional for nulo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre calcular o rotacional de dois campos vetoriais e descobrir se eles são conservativos. A matéria que vamos precisar aqui é cálculo vetorial, especificamente o conceito de rotacional (ou curl) e campos conservativos. Para isso, vamos precisar saber a fórmula do rotacional e entender o que significa um campo ser conservativo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o rotacional do campo . O campo é dado por:
A fórmula do rotacional de um campo vetorial é:
Vamos aplicar isso ao :
Calculando cada componente:
Então:
Como o rotacional de é zero, isso indica que o campo é conservativo.

Passo 3

Agora, vamos calcular o rotacional do campo . O campo é dado por:
Aqui, não temos a componente , então vamos considerar . Aplicando a fórmula do rotacional:
Calculando cada componente:
Então:
Como o rotacional de n��o é zero, isso significa que o campo não é conservativo.

Resposta

  • O rotacional de é , portanto, é conservativo.
  • O rotacional de é , portanto, não é conservativo.

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