Calcule o rotacional dos campos abaixo e responda: são conservativos?
A=x x+2 y y+3 z z ; B=3 y x-2 x y
Dica: um campo é conservativo se seu rotacional for nulo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre calcular o rotacional de dois campos vetoriais e descobrir se eles são conservativos. A matéria que vamos precisar aqui é cálculo vetorial, especificamente o conceito de rotacional (ou curl) e campos conservativos. Para isso, vamos precisar saber a fórmula do rotacional e entender o que significa um campo ser conservativo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o rotacional do campo A = x x + 2y y + 3z z . O campo nabla times F = ( partial Rpartial y - partial Qpartial z ) x + ( partial Ppartial z - partial Rpartial x ) y + ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) z é dado por:
P = x, Q = 2y, R = 3z
A fórmula do rotacional de um campo vetorial partial Rpartial y = 0, partial Qpartial z = 0 é:
partial Ppartial z = 0, partial Rpartial x = 0
Vamos aplicar isso ao partial Qpartial x = 0, partial Ppartial y = 0 :
nabla times A = (0 - 0) x + (0 - 0) y + (0 - 0) z = 0
Calculando cada componente:
Então:
Como o rotacional de é zero, isso indica que o campo é conservativo.

Passo 3

Agora, vamos calcular o rotacional do campo B = 3y x - 2x y . O campo P = 3y, Q = -2x, R = 0 é dado por:
partial Rpartial y = 0, partial Qpartial z = 0
Aqui, não temos a componente partial Ppartial z = 0, partial Rpartial x = 0 , então vamos considerar partial Qpartial x = -2, partial Ppartial y = 3 . Aplicando a fórmula do rotacional:
nabla times B = (0 - 0) x + (0 - 0) y + (-2 - 3) z = -5 z
Calculando cada componente:
Então:
Como o rotacional de n��o é zero, isso significa que o campo não é conservativo.

Resposta

  • O rotacional de é , portanto, é conservativo.
  • O rotacional de é , portanto, não é conservativo.

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