Is the cross product associative?
(A times B) times C stackrel?= A times(B times C)
If so, prove it; if not, provide a counterexample.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pergunta se o produto vetorial é associativo, ou seja, se é igual a . A gente vai precisar entender o que é produto vetorial e o que significa associatividade para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é produto vetorial. O produto vetorial entre dois vetores e resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A associatividade, por outro lado, diz respeito a como agrupamos os vetores quando fazemos operações múltiplas. Se uma operação é associativa, dá pra mudar a forma como agrupamos sem mudar o resultado.

Passo 3

Agora, vamos testar se o produto vetorial é realmente associativo. Isso significa verificar se é igual a . Se a gente encontrar um caso onde não é igual, já sabemos que não é associativo.

Passo 4

Vamos escolher vetores específicos para facilitar os cálculos. Vamos usar os vetores da base A times B = j times k = i , (A times B) times C = i times i = 0 , e B times C = k times i = j :
  • Seja A times (B times C) = j times j = 0
  • Seja A times B = i times j = k
  • Seja (A times B) times C = k times k = 0
Agora, vamos calcular ambos os lados da igualdade:
Primeiro, calculando B times C = j times k = i :
A times (B times C) = i times i = 0
A times B = j times k = i
Agora, calculando (A times B) times C = i times i = 0 :
B times C = k times i = j
A times (B times C) = j times j = 0
Ops, nesse caso deu igual. Vamos tentar outros vetores.
Vamos mudar A times B = i times i = 0 , (A times B) times C = 0 times j = 0 , e B times C = i times j = k :
Calculando A times (B times C) = i times k = -j :
Calculando :
Ainda deu igual. Vamos tentar um exemplo onde dá diferente.
Escolha , , e :
Calculando :
Calculando :
Parece que sempre está dando igual. Vamos buscar outro conjunto de vetores.
Escolha , , e :
Calculando :
Calculando :
Agora sim, . Isso mostra que o produto vetorial não é associativo.

Resposta

Não, o produto vetorial não é associativo. Por exemplo, com (A times B) times C = 0 neq -j = A times (B times C) , e :

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