Is the cross product associative?
If so, prove it; if not, provide a counterexample.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pergunta se o produto vetorial é associativo, ou seja, se é igual a . A gente vai precisar entender o que é produto vetorial e o que significa associatividade para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é produto vetorial. O produto vetorial entre dois vetores e resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A associatividade, por outro lado, diz respeito a como agrupamos os vetores quando fazemos operações múltiplas. Se uma operação é associativa, dá pra mudar a forma como agrupamos sem mudar o resultado.

Passo 3

Agora, vamos testar se o produto vetorial é realmente associativo. Isso significa verificar se é igual a . Se a gente encontrar um caso onde não é igual, já sabemos que não é associativo.

Passo 4

Vamos escolher vetores específicos para facilitar os cálculos. Vamos usar os vetores da base , , e :
  • Seja
  • Seja
  • Seja
Agora, vamos calcular ambos os lados da igualdade:
Primeiro, calculando :
Agora, calculando :
Ops, nesse caso deu igual. Vamos tentar outros vetores.
Vamos mudar , , e :
Calculando :
Calculando :
Ainda deu igual. Vamos tentar um exemplo onde dá diferente.
Escolha , , e :
Calculando :
Calculando :
Parece que sempre está dando igual. Vamos buscar outro conjunto de vetores.
Escolha , , e :
Calculando :
Calculando :
Agora sim, . Isso mostra que o produto vetorial não é associativo.

Resposta

Não, o produto vetorial não é associativo. Por exemplo, com , e :

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