Is the cross product associative?
If so, prove it; if not, provide a counterexample.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pergunta se o produto vetorial é associativo, ou seja, se
é igual a
. A gente vai precisar entender o que é produto vetorial e o que significa associatividade para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é produto vetorial. O produto vetorial entre dois vetores
e
resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A associatividade, por outro lado, diz respeito a como agrupamos os vetores quando fazemos operações múltiplas. Se uma operação é associativa, dá pra mudar a forma como agrupamos sem mudar o resultado.
Passo 3
Agora, vamos testar se o produto vetorial é realmente associativo. Isso significa verificar se
é igual a
. Se a gente encontrar um caso onde não é igual, já sabemos que não é associativo.
Passo 4
Vamos escolher vetores específicos para facilitar os cálculos. Vamos usar os vetores da base
,
, e
:
- Seja
- Seja
- Seja
Agora, vamos calcular ambos os lados da igualdade:
Primeiro, calculando
:
Agora, calculando
:
Ops, nesse caso deu igual. Vamos tentar outros vetores.
Vamos mudar
,
, e
:
Calculando
:
Calculando
:
Ainda deu igual. Vamos tentar um exemplo onde dá diferente.
Escolha
,
, e
:
Calculando
:
Calculando
:
Parece que sempre está dando igual. Vamos buscar outro conjunto de vetores.
Escolha
,
, e
:
Calculando
:
Calculando
:
Agora sim,
. Isso mostra que o produto vetorial não é associativo.
Resposta
Não, o produto vetorial não é associativo. Por exemplo, com
,
e
:
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yields the result
.