Duas cargas q1=+q e q2=-4 q localizadas, respectivamente em P1=(0.0,0.0) m e P2=(4.0,0.0) m. (a) Determine o campo resultante (módulo, direção e sentido) no ponto P3=(4.0,4.0) m. (b) Discuta o movimento de uma partícula q0=-q colocada em P3. Faça uma representação gráfica em um plano cartesiano.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de eletrostática! A gente tem duas cargas elétricas: e , localizadas nos pontos e respectivamente. Precisamos determinar o campo elétrico resultante no ponto e depois discutir o movimento de uma partícula colocada nesse ponto. Para isso, vamos precisar entender como calcular campos elétricos gerados por cargas pontuais e como somá-los vetorialmente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico E = ke qr^2 r gerado por uma carga pontual em um ponto no espaço é dado pela fórmula:
onde:
  • é a constante eletrostática ( ),
  • é a carga,
  • é a distância entre a carga e o ponto onde queremos calcular o campo,
  • é o vetor unitário na direção de (do positivo para o negativo da carga).
Nosso objetivo é calcular os campos elétricos gerados por e no ponto e depois somá-los para encontrar o campo resultante.

Passo 3

Vamos calcular primeiro a distância entre cada carga e o ponto r13 = raiz(4.0 - 0.0)^2 + (4.0 - 0.0)^2 = raiz16 + 16 = raiz32 approx 5.657 , m .
Para r23 = raiz(4.0 - 4.0)^2 + (4.0 - 0.0)^2 = raiz0 + 16 = 4.0 , m em e :
Para em e :

Passo 4

Agora, vamos calcular o campo elétrico gerado por cada carga no ponto E1 = ke qr13^2 = ke q(5.657)^2 approx ke q32 .
Primeiro, para E2 = ke -4qr23^2 = ke -4q16 = -ke q4 :
A direção de será do para , já que é positiva.
Segundo, para :
A direção de será de para , já que é negativa.

Passo 5

Vamos decompor cada campo elétrico em componentes E1x = E1 cos(45°) = E1 raiz22 e E1y = E1 sin(45°) = E1 raiz22 .
Para E2x = 0 :
A direção de E2y = E2 forma um ângulo de 45° com o eixo , já que está igualmente distante nos eixos e .
Para :
A direção de é diretamente para baixo ao longo do eixo , já que está alinhada verticalmente com .

Passo 6

Agora, somamos as componentes dos campos elétricos para encontrar o campo resultante Eresx = E1x + E2x = E1 raiz22 + 0 = E1 raiz22 .
Eresy = E1y + E2y = E1 raiz22 + E2
Eresx = ( ke q32 ) raiz22 = ke q raiz264
Substituindo os valores de Eresy = ( ke q32 ) raiz22 - ke q4 = ke q raiz264 - 16 ke q64 = ke q (raiz2 - 16)64 e :

Passo 7

Para encontrar o módulo do campo resultante, usamos a fórmula:
|Eres| = raizEresx^2 + Eresy^2
Substituindo os valores:
|Eres| = raiz( ke q raiz264 )^2 + ( ke q (raiz2 - 16)64 )^2
Fatorando |Eres| = ke q64 raiz2 + (raiz2 - 16)^2 :
Isso nos dá o módulo do campo resultante.

Passo 8

Para encontrar a direção do campo resultante, calculamos o ângulo theta = arctan( EresyEresx ) = arctan( ke q (raiz2 - 16)64ke q raiz264 ) = arctan( raiz2 - 16raiz2 ) em relação ao eixo :
Isso nos dá a direção do campo resultante em relação ao eixo .

Passo 9

Agora, vamos para a parte (b) do exercício. Queremos discutir o movimento de uma partícula F = q0 Eres = -q Eres colocada em .
Primeiro, vamos saber qual a força que essa partícula sofrerá no campo elétrico resultante:
Como é negativo, a força terá a direção oposta ao campo elétrico resultante.
Isso significa que a partícula será atraída na direção oposta ao campo, causando um movimento acelerado conforme a força aplicada.
Quanto à representação gráfica, podemos imaginar um plano cartesiano onde:
  • está na origem,
  • está no ponto ,
  • está no ponto .
Os campos elétricos de e são representados por setas saindo ou entrando nas cargas, e o campo resultante é a soma vetorial dessas setas no ponto . A força sobre seria representada por uma seta na direção oposta ao campo resultante.

Resposta

O campo elétrico resultante no ponto possui módulo , com direção formando um ângulo em relação ao eixo . A partícula colocada em será atraída na direção oposta ao campo elétrico resultante, movendo-se aceleradamente conforme a força aplicada.

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