Duas cordas muito longas estão emendadas no ponto . Na região a velocidade da onda é , enquanto que na região a velocidade da onda é . Uma onda senoidal incide a esquerda ; parte da onda é transmitida e parte é refletida.
Para , o deslocamento da onda é descrido por :
No entanto, para , a função de onda é descrita por :
onde e .
Admitindo que a função de onda y e sua primeira derivada espacial precisam ser contínuas em , encontre quanto vale a razão em função das variáveis disponíveis no problema.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas cordas muito longas unidas no ponto . Uma onda senoidal está chegando pela esquerda () com velocidade . Quando essa onda atinge o ponto de união, parte dela é refletida de volta () e parte é transmitida para a outra corda () com velocidade .
Nosso objetivo é encontrar a razão , onde é a amplitude da onda incidente e é a amplitude da onda refletida. Para fazer isso, precisamos garantir que a função de onda e sua primeira derivada espacial sejam contínuas em .
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as expressões das ondas nas duas regiões:
Para :
Aqui, é a amplitude da onda incidente e é a amplitude da onda refletida.
Para :
é a amplitude da onda transmitida.
Sabemos que as velocidades das ondas estão relacionadas aos números de onda e à frequência angular pela relação . Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a condição de continuidade para a função de onda em . Isso significa que o deslocamento das ondas nas duas regiões deve ser igual no ponto de união:
Substituindo nas equações das ondas:
Lembrando que , podemos simplificar:
Passo 4
Podemos fatorar de ambos os lados da equação:
Como não é zero para ondas senoidais não triviais, podemos dividir ambos os lados por :
Rearranjando, temos:
Passo 5
Agora, vamos aplicar a condição de continuidade para a primeira derivada espacial da função de onda em . Isso garante que a inclinação da onda também seja contínua no ponto de união:
Calculando as derivadas:
Para A k1 cos(-omega t) + B k1 cos(omega t) = C k2 cos(-omega t) :
A k1 cos(omega t) + B k1 cos(omega t) = C k2 cos(omega t)
Para :
Substituindo :
Novamente, usando :
Passo 6
Fatorando (A k1 + B k1) cos(omega t) = C k2 cos(omega t) :
A k1 + B k1 = C k2
Dividindo por k1 (A + B) = C k2 :
Fatorando :
Passo 7
Lembrando que no Passo 4 obtivemos k1 (A + B) = (A - B) k2 . Vamos substituir k1 A + k1 B = k2 A - k2 B por na equação acima:
Expandindo:
Passo 8
Reagrupando os termos com k1 B + k2 B = k2 A - k1 A de um lado e os termos com B (k1 + k2) = A (k2 - k1) do outro: