Duas cordas muito longas estão emendadas no ponto x=0. Na região x<0 a velocidade da onda é v1, enquanto que na região x>0 a velocidade da onda é v2. Uma onda senoidal incide a esquerda (x<0); parte da onda é transmitida e parte é refletida.
Para x<0, o deslocamento da onda é descrido por :
y(x, t)=A sen(k1 x-omega t)+B sen(k1 x+omega t)
No entanto, para x>0, a função de onda é descrita por :
y(x, t)=C sen(k2 x-omega t)
onde v1=omegak1 e v2=omegak2.
Admitindo que a função de onda y e sua primeira derivada espacial precisam ser contínuas em x=0, encontre quanto vale a razão BA em função das variáveis disponíveis no problema.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas cordas muito longas unidas no ponto . Uma onda senoidal está chegando pela esquerda ( ) com velocidade . Quando essa onda atinge o ponto de união, parte dela é refletida de volta ( ) e parte é transmitida para a outra corda ( ) com velocidade .
Nosso objetivo é encontrar a razão , onde é a amplitude da onda incidente e é a amplitude da onda refletida. Para fazer isso, precisamos garantir que a função de onda e sua primeira derivada espacial sejam contínuas em .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as expressões das ondas nas duas regiões:
  • Para y(x, t) = A sin(k1 x - omega t) + B sin(k1 x + omega t) :
    y(x, t) = C sin(k2 x - omega t)
    Aqui, v1 = omegak1 e v2 = omegak2 é a amplitude da onda incidente e é a amplitude da onda refletida.
  • Para :
    é a amplitude da onda transmitida.
Sabemos que as velocidades das ondas estão relacionadas aos números de onda e à frequência angular pela relação . Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a condição de continuidade para a função de onda y(0^-, t) = y(0^+, t) em A sin(-omega t) + B sin(omega t) = C sin(-omega t) . Isso significa que o deslocamento das ondas nas duas regiões deve ser igual no ponto de união:
-A sin(omega t) + B sin(omega t) = -C sin(omega t)
Substituindo nas equações das ondas:
Lembrando que , podemos simplificar:

Passo 4

Podemos fatorar (-A + B) sin(omega t) = -C sin(omega t) de ambos os lados da equação:
-B + A = C
Como B = A - C não é zero para ondas senoidais não triviais, podemos dividir ambos os lados por :
Rearranjando, temos:

Passo 5

Agora, vamos aplicar a condição de continuidade para a primeira derivada espacial da função de onda partial ypartial x|x=0^- = partial ypartial x|x=0^+ em partial ypartial x = A k1 cos(k1 x - omega t) + B k1 cos(k1 x + omega t) . Isso garante que a inclinação da onda também seja contínua no ponto de união:
partial ypartial x = C k2 cos(k2 x - omega t)
Calculando as derivadas:
  • Para A k1 cos(-omega t) + B k1 cos(omega t) = C k2 cos(-omega t) :
    A k1 cos(omega t) + B k1 cos(omega t) = C k2 cos(omega t)
  • Para :
Substituindo :
Novamente, usando :

Passo 6

Fatorando (A k1 + B k1) cos(omega t) = C k2 cos(omega t) :
A k1 + B k1 = C k2
Dividindo por k1 (A + B) = C k2 :
Fatorando :

Passo 7

Lembrando que no Passo 4 obtivemos k1 (A + B) = (A - B) k2 . Vamos substituir k1 A + k1 B = k2 A - k2 B por na equação acima:
Expandindo:

Passo 8

Reagrupando os termos com k1 B + k2 B = k2 A - k1 A de um lado e os termos com B (k1 + k2) = A (k2 - k1) do outro:
Fatorando e :

Passo 9

Isolando BA = k2 - k1k1 + k2 :

Resposta

A razão BA = k2 - k1k1 + k2 é dada por:

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