Duas crianças estão tentando acertar uma caixa no chão com uma bola de gude de massa
lançada de um canhão de mola montado em uma mesa a uma altura
acima do nível da caixa.
O centro da caixa está a uma distância horizontal
da boca do canhão, de onde a bola sai. Uma das crianças da à mola uma compressão
, mas o centro da bola de gude bate no chão a uma distância
antes do centro da caixa. Supondo que não haja atrito da mola e da bola com o canhão, de quanto a outra criança deve comprimir a mola,
, para acertar o centro da caixa
Escolha uma opção:
O centro da caixa está a uma distância horizontal
Escolha uma opção:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de física envolvendo lançamento de uma bola de gude de um canhão de mola. O canhão está numa mesa a uma altura
acima do chão, e a bola tem uma massa
. Uma criança comprime a mola em
e a bola acaba batendo no chão
antes da caixa que está a uma distância horizontal
. Queremos descobrir quanto a outra criança precisa comprimir a mola,
, para que a bola acerte exatamente o centro da caixa. Para isso, vamos usar conceitos de energia elástica e movimento de projéteis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a compressão da mola
está relacionada com a velocidade inicial da bola. A energia armazenada na mola quando comprimida é dada por:
onde
é a constante da mola.
Essa energia é convertida em energia cinética da bola de gude quando ela é lançada:
Simplificando, podemos encontrar a velocidade inicial
:
Passo 3
Agora, vamos analisar o movimento da bola. A bola é lançada horizontalmente, então sua velocidade vertical inicial é zero. A altura da mesa é
, e o tempo que a bola leva para cair até o chão é dado por:
onde
é a aceleração da gravidade.
Durante esse tempo, a bola percorre uma distância horizontal
, que é:
Passo 4
Dada a primeira situação, onde a mola está comprimida
e a bola cai
antes da caixa, temos:
Queremos que a bola atinja a caixa, que está a uma distância total
. Então, a nova distância que a bola precisa percorrer é:
onde
é a distância adicional necessária.
Mas para simplificar, podemos relacionar diretamente
e
com as respectivas distâncias
e
.
Passo 5
Assumindo que a constante da mola
, a massa
, a altura
e a gravidade
permanecem as mesmas, podemos relacionar as compressões das molas com as distâncias percorridas pela bola:
Resolvendo para
:
Resposta
A outra criança deve comprimir a mola em: