Duas crianças estão tentando acertar uma caixa no chão com uma bola de gude de massa m lançada de um canhão de mola montado em uma mesa a uma altura h acima do nível da caixa.
O centro da caixa está a uma distância horizontal D da boca do canhão, de onde a bola sai. Uma das crianças da à mola uma compressão X1, mas o centro da bola de gude bate no chão a uma distância L1 antes do centro da caixa. Supondo que não haja atrito da mola e da bola com o canhão, de quanto a outra criança deve comprimir a mola, X2, para acertar o centro da caixa
Escolha uma opção:
X2=X1(DL1)
X2=X1 raizDL1
X2=X1 raizDD-L1
X2=X1(hD-L1)
X2=X1(DD-L1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de física envolvendo lançamento de uma bola de gude de um canhão de mola. O canhão está numa mesa a uma altura acima do chão, e a bola tem uma massa . Uma criança comprime a mola em e a bola acaba batendo no chão antes da caixa que está a uma distância horizontal . Queremos descobrir quanto a outra criança precisa comprimir a mola, , para que a bola acerte exatamente o centro da caixa. Para isso, vamos usar conceitos de energia elástica e movimento de projéteis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a compressão da mola E = 12 k X^2 está relacionada com a velocidade inicial da bola. A energia armazenada na mola quando comprimida é dada por:
12 k X^2 = 12 m v^2
onde v = raizkm X é a constante da mola.
Essa energia é convertida em energia cinética da bola de gude quando ela é lançada:
Simplificando, podemos encontrar a velocidade inicial :

Passo 3

Agora, vamos analisar o movimento da bola. A bola é lançada horizontalmente, então sua velocidade vertical inicial é zero. A altura da mesa é t = raiz2hg , e o tempo que a bola leva para cair até o chão é dado por:
L = v cdot t = raizkm X cdot raiz2hg = X cdot raiz2khmg
onde é a aceleração da gravidade.
Durante esse tempo, a bola percorre uma distância horizontal , que é:

Passo 4

Dada a primeira situação, onde a mola está comprimida L1 = X1 cdot raiz2khmg e a bola cai D = L1 + de antes da caixa, temos:
Queremos que a bola atinja a caixa, que está a uma distância total . Então, a nova distância que a bola precisa percorrer é:
onde é a distância adicional necessária.
Mas para simplificar, podemos relacionar diretamente e com as respectivas distâncias e .

Passo 5

Assumindo que a constante da mola L1X1 = DX2 , a massa X2 = X1 cdot DL1 , a altura e a gravidade permanecem as mesmas, podemos relacionar as compressões das molas com as distâncias percorridas pela bola:
Resolvendo para :

Resposta

A outra criança deve comprimir a mola em:
X2 = X1(DL1)

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