Duas desigualdades são ditas equivalentes, se possuem o mesmo conjunto de soluções:
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas desigualdades:
e
. Ele diz que duas desigualdades são equivalentes quando têm o mesmo conjunto de soluções. Nosso objetivo aqui é resolver cada uma dessas desigualdades passo a passo e ver se elas realmente têm as mesmas soluções. Para isso, vamos precisar usar propriedades de desigualdades, manipulação de expressões algébricas e considerar as condições de existência das raízes quadradas.
Passo 2
Vamos começar resolvendo a primeira desigualdade:
. Primeiro, precisamos garantir que as raízes quadradas existam, ou seja, que os valores dentro delas sejam não negativos.
Então, temos:
Portanto, o intervalo de
que precisamos considerar é
.
Agora, para resolver a desigualdade
, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
Isso simplifica para:
Vamos resolver essa inequação:
Adicionando
em ambos os lados:
Adicionando 1 em ambos os lados:
Dividindo por 2:
Lembrando do intervalo inicial
, a solução da primeira desigualdade é:
Passo 3
Agora, vamos resolver a segunda desigualdade:
.
Vamos trazer todos os termos com
para um lado e os números para o outro:
Adicionando
em ambos os lados:
Adicionando 2 em ambos os lados:
Dividindo por 2:
Não há restrições adicionais aqui, então a solução da segunda desigualdade é:
Resposta
As duas desigualdades têm o mesmo conjunto de soluções no intervalo
. Portanto, elas são equivalentes.