Duas desigualdades são ditas equivalentes, se possuem o mesmo conjunto de soluções: raiz(x - 1) < raiz(2 - x) e x - 2 < 1 - x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas desigualdades: e . Ele diz que duas desigualdades são equivalentes quando têm o mesmo conjunto de soluções. Nosso objetivo aqui é resolver cada uma dessas desigualdades passo a passo e ver se elas realmente têm as mesmas soluções. Para isso, vamos precisar usar propriedades de desigualdades, manipulação de expressões algébricas e considerar as condições de existência das raízes quadradas.

Passo 2

Vamos começar resolvendo a primeira desigualdade: . Primeiro, precisamos garantir que as raízes quadradas existam, ou seja, que os valores dentro delas sejam não negativos.
Então, temos:
Portanto, o intervalo de x que precisamos considerar é 1 <= x <= 2.
Agora, para resolver a desigualdade , vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
Isso simplifica para:
Vamos resolver essa inequação:
Adicionando x em ambos os lados:
Adicionando 1 em ambos os lados:
Dividindo por 2:
Lembrando do intervalo inicial 1 <= x <= 2, a solução da primeira desigualdade é:

Passo 3

Agora, vamos resolver a segunda desigualdade: .
Vamos trazer todos os termos com x para um lado e os números para o outro:
Adicionando x em ambos os lados:
Adicionando 2 em ambos os lados:
Dividindo por 2:
Não há restrições adicionais aqui, então a solução da segunda desigualdade é:

Resposta

As duas desigualdades têm o mesmo conjunto de soluções no intervalo . Portanto, elas são equivalentes.

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