Resolva os sistemas de inequações: {4 x² - 4 x - 3 < 0; 1 / x² ≥ 1}

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de inequações juntos! A gente tem duas condições que x precisa satisfazer ao mesmo tempo. Vamos usar conhecimentos de álgebra, especificamente sobre inequações do segundo grau e funções racionais, para encontrar os valores de x que fazem ambas as desigualdades verdadeiras.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a primeira inequação: .
Para resolver uma inequação do segundo grau, a gente começa encontrando as raízes da equação associada . Isso pode ser feito usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Calculando o discriminante:
Então, as raízes são:
Isso resulta em:
Agora, sabemos que a parábola corta o eixo x em e , e como o coeficiente de é positivo, a parábola está voltada para cima. Portanto, a inequação é verdadeira entre as raízes:

Passo 3

Agora, vamos resolver a segunda inequação: .
Primeiro, precisamos considerar que não pode ser zero, pois não podemos dividir por zero. Então, o domínio dessa inequação é .
Vamos reescrever a inequação para facilitar:
Agora, analisamos os sinais do numerador e do denominador.
O numerador é zero quando ou , e é positivo quando .
O denominador é sempre positivo, exceto em , onde não está definido.
Então, a fração será positiva quando , ou seja, quando .
Portanto, a solução da segunda inequação é:
Lembrando que , então ajustamos:

Passo 4

Agora que temos as soluções das duas inequações, vamos encontrar os valores de que satisfazem ambas ao mesmo tempo. Ou seja, precisamos encontrar a interseção dos intervalos:
Primeira inequação:
Segunda inequação: ou
A interseção desses intervalos é onde ambos se sobrepõem, ou seja:
Isso significa que os valores de que satisfazem o sistema de inequações são todos os números entre e , exceto .

Resposta

A solução do sistema de inequações é , com .

Exercícios relacionados