Resolva os sistemas de inequações:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de inequações juntos! A gente tem duas condições que x precisa satisfazer ao mesmo tempo. Vamos usar conhecimentos de álgebra, especificamente sobre inequações do segundo grau e funções racionais, para encontrar os valores de x que fazem ambas as desigualdades verdadeiras.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a primeira inequação:
.
Para resolver uma inequação do segundo grau, a gente começa encontrando as raízes da equação associada
. Isso pode ser feito usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Calculando o discriminante:
Então, as raízes são:
Isso resulta em:
Agora, sabemos que a parábola
corta o eixo x em
e
, e como o coeficiente de
é positivo, a parábola está voltada para cima. Portanto, a inequação
é verdadeira entre as raízes:
Passo 3
Agora, vamos resolver a segunda inequação:
.
Primeiro, precisamos considerar que
não pode ser zero, pois não podemos dividir por zero. Então, o domínio dessa inequação é
.
Vamos reescrever a inequação para facilitar:
Agora, analisamos os sinais do numerador e do denominador.
O numerador
é zero quando
ou
, e é positivo quando
.
O denominador
é sempre positivo, exceto em
, onde não está definido.
Então, a fração
será positiva quando
, ou seja, quando
.
Portanto, a solução da segunda inequação é:
Lembrando que
, então ajustamos:
Passo 4
Agora que temos as soluções das duas inequações, vamos encontrar os valores de
que satisfazem ambas ao mesmo tempo. Ou seja, precisamos encontrar a interseção dos intervalos:
Primeira inequação:
Segunda inequação:
ou
A interseção desses intervalos é onde ambos se sobrepõem, ou seja:
Isso significa que os valores de
que satisfazem o sistema de inequações são todos os números entre
e
, exceto
.
Resposta
A solução do sistema de inequações é
, com
.