Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que nos dá a função . Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas e suas inversas. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar funções compostas, ou seja, usar a regra da cadeia, além de conhecer a derivada da função arco cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função composta
é dada pela regra da cadeia:
. No nosso caso, , então
onde .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
. Sabemos que:
E a derivada de em relação a
é:
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia, a derivada de
em relação a
é:
Simplificando , que é igual a
, temos:
Passo 5
Observando a expressão
, podemos simplificar para:
Onde
representa a função sinal, que retorna
se
é positivo e
se
é negativo.
Resposta
A derivada de em relação a
é: