Duas esferas condutoras iguais, mantidas fixas a uma distância, entre os centros, de 50 cm , se atraem mutuamente com uma força eletrostática de 0,108 N. Quando são ligadas por um fio condutor, de diâmetro desprezível, as esferas passam a se repelir com uma força de 0,0360 N. Supondo que a carga total das esferas era inicialmente positiva, determine: (b) a carga positiva inicial da outra esfera.

Passo 1

Então, temos um exercício que fala sobre duas esferas condutoras iguais, separadas por 50 centímetros. Inicialmente, elas se atraem com uma força eletrostática de 0,108 N. Depois, quando conectadas por um fio, passam a se repelir com uma força de 0,0360 N. Sabemos que a carga total das esferas era inicialmente positiva. Nosso objetivo aqui é descobrir qual era a carga positiva inicial de uma das esferas. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Coulomb, que descreve a força entre cargas elétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei de Coulomb, que nos diz que a força eletrostática F = k cdot |q1 q2|r^2 entre duas cargas e separadas por uma distância é dada por:
Onde é a constante eletrostática ( ).
No primeiro caso, as esferas estão se atraindo, o que significa que as cargas têm sinais opostos.

Passo 3

Vamos chamar as cargas iniciais das esferas de 0,108 = 8,988 times 10^9 cdot |q1 q2|(0,5)^2 e |q1 q2| = 0,108 times (0,5)^28,988 times 10^9 . Sabemos que a força de atração é de 0,108 N e a distância é de 0,5 metros (50 cm).
Aplicando a Lei de Coulomb:
Simplificando:

Passo 4

Calculando o valor de |q1 q2| = 0,108 times 0,258,988 times 10^9 :
|q1 q2| = 0,0278,988 times 10^9
|q1 q2| approx 3,007 times 10^-12 , C^2

Passo 5

Agora, quando as esferas são conectadas por um fio condutor, as cargas se redistribuem de forma que ambas tenham a mesma carga final, que chamaremos de 0,0360 = 8,988 times 10^9 cdot qf^2(0,5)^2 . A força de repulsão após a conexão é de 0,0360 N. Usando novamente a Lei de Coulomb para a repulsão:
qf^2 = 0,0360 times (0,5)^28,988 times 10^9
Simplificando:

Passo 6

Calculando qf^2 = 0,0360 times 0,258,988 times 10^9 :
qf^2 = 0,0098,988 times 10^9
qf^2 approx 1,001 times 10^-12 , C^2
qf = raiz1,001 times 10^-12
Então,
qf approx 1,0005 times 10^-6 , C
qf approx 1,0005 , muC

Passo 7

Sabemos que a carga total antes da conexão era a soma das cargas iniciais q1 + q2 = 2qf , e após a conexão, essa carga total foi redistribuída igualmente entre as duas esferas, ou seja, q1 + q2 = 2 times 1,0005 times 10^-6 .
Então:
q1 + q2 = 2,001 times 10^-6 , C

Passo 8

Voltando à relação q2 = 2,001 times 10^-6 - q1 e sabendo que q1 (2,001 times 10^-6 - q1) = 3,007 times 10^-12 , podemos resolver esse sistema de equações para encontrar e .
Vamos supor que seja a carga positiva inicial de uma esfera, então será:
Substituindo na equação de produtos:

Passo 9

Resolvendo a equação quadrática:
q1^2 - 2,001 times 10^-6 q1 + 3,007 times 10^-12 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
q1 = 2,001 times 10^-6 pm raiz(2,001 times 10^-6)^2 - 4 times 1 times 3,007 times 10^-122
Calculando o discriminante:
De
De
De
Então,
q1 = 2,001 times 10^-6 pm raiz2,803201 times 10^-122
q1 = 2,001 times 10^-6 pm 1,674 times 10^-62
Assim, temos duas soluções:

Passo 10

Como a carga total era positiva e as esferas se atraíam inicialmente (indicando cargas opostas), a esfera com carga maior será positiva, e a outra terá carga menor (pode ser negativa ou menos positiva).
Portanto, a carga positiva inicial da outra esfera é:
q1 = 1,8375 times 10^-6 , C
q1 approx 1,84 , muC

Resposta

A carga positiva inicial da outra esfera era aproximadamente .

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