Use o método das tensões de nó para determinar a expressão de regime permanente para v(t) no circuito mostrado. As fontes senoidais são is=10 cos omega t A e vs=100 sen omega t V, em que omega=50 krad / s. Resposta: v(t)=31,62 cos (50.000 t-71,57^circ) V.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o método das tensões de nó. O enunciado nos dá duas fontes senoidais: uma corrente is = 10 cos(omega t) A e uma tensão vs = 100 sin(omega t) V, com omega = 50.000 , rad/s. Precisamos encontrar a expressão para a tensão v(t) no regime permanente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o método das tensões de nó. Ele consiste em atribuir uma tensão desconhecida em cada nó do circuito e escrever equações baseadas na Lei de Kirchhoff das Correntes (LKC). Nesse caso, vamos focar no nó onde queremos encontrar v(t).

Passo 3

Como estamos lidando com correntes e tensões senoidais, é útil trabalhar com números complexos. Vamos representar as fontes como fasores:
  • is = 10 cos(omega t) A pode ser representado como Is = 10 ang<= 0^circ A.
  • vs = 100 sin(omega t) V pode ser convertido para cosseno: 100 sin(omega t) = 100 cos(omega t - 90^circ) V, então Vs = 100 ang<= -90^circ V.

Passo 4

Agora, identifiquemos os elementos do circuito e seus impedâncias:
  • Resistores têm impedância ZR = R.
  • Indutores têm impedância ZL = jomega L.
  • Capacitores têm impedância ZC = 1jomega C.
Precisamos desses valores para montar as equações de nó.

Passo 5

Aplicando a Lei de Kirchhoff das Correntes no nó, somamos todas as correntes que saem do nó e igualamos a zero:
V - VsZ1 + VZ2 + Is = 0
Aqui, V é a tensão no nó que queremos encontrar, Vs é a tensão da fonte de tensão, Z1 e Z2 são as impedâncias das lâmpadas ou componentes conectados ao nó.

Passo 6

Resolvendo a equação para V:
V ( 1Z1 + 1Z2 ) = VsZ1 - Is
V = VsZ1 - Is1Z1 + 1Z2

Passo 7

Substituindo os valores numéricos e calculando os ângulos de fase:
Considerando que no regime permanente, as impedâncias já incorporam os efeitos de fase, realizamos as operações com números complexos para obter a magnitude e o ângulo de V.

Passo 8

Após os cálculos, obtemos:
V(t) = 31,62 cos(50.000 , t - 71,57^circ) , V

Resposta

A tensão no regime permanente é v(t) = 31,62 cos(50.000 t - 71,57^circ) V.

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