Duas esferas de massas m1 e m2 estão suspensas por um fio, conforme o desenho a seguir. Uma delas é deslocada até uma altura H1 e, depois é solta. Obtenha:
a) As velocidades das esferas logo após o choque elástico;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre duas esferas com massas e que estão penduradas por um fio. Uma dessas esferas é levantada até uma altura e depois solta. A gente precisa descobrir as velocidades das esferas logo depois do choque elástico que vai acontecer entre elas.
Aqui, vamos usar conceitos de energia potencial gravitacional, energia cinética e leis de conservação (do momento e da energia) que são fundamentais em Física para resolver esse tipo de problema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece quando a esfera é levantada e solta. Ao levantar a esfera até a altura Ep = m g H1 , ela ganha energia potencial gravitacional dada por:
Ec = 12 m v^2
onde é a massa da esfera, é a aceleração da gravidade e é a altura.
Quando a esfera é solta, essa energia potencial se transforma em energia cinética no ponto mais baixo da trajetória:
Como a colisão é elástica, a energia cinética e o momento linear são conservados. Isso significa que, antes e depois do choque, a energia total e o momento total do sistema permanecem os mesmos.

Passo 3

Vamos calcular a velocidade da esfera que foi solta no momento em que ela está prestes a colidir com a outra esfera que estava em repouso.
Usando a conservação da energia:
m1 g H1 = 12 m1 v1^2
Resolvendo para v1 = raiz2 g H1 :

Passo 4

Agora, aplicamos a conservação do momento linear. Antes da colisão, somente a esfera m1 v1 = m1 v'1 + m2 v'2 está em movimento com velocidade , enquanto a esfera está parada. Após a colisão, elas terão velocidades e , respectivamente.
A conservação do momento linear é dada por:

Passo 5

Também, como a colisão é elástica, a conservação da energia cinética se aplica:

Passo 6

Temos agora um sistema de duas equações com duas incógnitas ( v1 = v'1 + m2m1 v'2 e ). Podemos resolver esse sistema para encontrar as velocidades após a colisão.
Primeiro, simplificamos as equações:
Podemos dividir a primeira equação por :

Passo 7

Para resolver, isolamos uma das variáveis. Vamos isolar v'1 = v1 - m2m1 v'2 :
m1 v1^2 = m1 ( v1 - m2m1 v'2 )^2 + m2 v'2^2
Agora, substituímos essa expressão na segunda equação:

Passo 8

Expandindo e resolvendo essa equação para m1 v1^2 = m1 ( v1^2 - 2 v1 m2m1 v'2 + m2^2m1^2 v'2^2 ) + m2 v'2^2 :
Simplificando:
Cancelando m1 v1^2 = m1 v1^2 - 2 m2 v1 v'2 + m2^2m1 v'2^2 + m2 v'2^2 dos dois lados:
Fatorando 0 = -2 m2 v1 v'2 + ( m2^2m1 + m2 ) v'2^2 :
v'2 ( -2 m2 v1 + ( m2^2m1 + m2 ) v'2 ) = 0

Passo 9

Dessa forma, temos duas soluções:
  1. v'2 = 2 m2 v1m2 + m1 (sem movimento, o que não é o caso interessante)
  2. v'2 = 2 m2 raiz2 g H1m1 + m2
Resolvendo a segunda opção:
Substituindo :

Passo 10

Agora, voltamos à expressão para v'1 = v1 - m2m1 v'2 :
v'1 = raiz2 g H1 - m2m1 ( 2 m2 raiz2 g H1m1 + m2 )
Substituindo v'1 = raiz2 g H1 ( 1 - 2 m2^2m1(m1 + m2) ) :
Simplificando:

Resposta

As velocidades das esferas logo após o choque elástico são:
v'1 = raiz2 g H1 ( m1 - m2m1 + m2 )
v'2 = 2 m1 raiz2 g H1m1 + m2

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