Duas esferas metálicas concêntricas possuem raios r1=10 cm e r2=10,5 cm, respectivamente. A esfera interna tem uma carga Q=5 n C distribuída uniformemente sobre sua superfície, e a esfera externa possui uma carga -Q sobre sua superfície. (a) Calcule a energia total armazenada no campo elétrico interno às esferas. Sugestão: as esferas podem ser tratadas como placas planas paralelas separadas de uma distância de 0,5 cm - por quê? (b) Determine a capacitância desse sistema de duas esferas e mostre que a energia total armazenada no campo é, aproximadamente, igual a U=Q^2 / 2 C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre duas esferas metálicas que estão uma dentro da outra, conhecidas como concêntricas. A esfera de dentro tem raio de 10 cm e carga positiva , enquanto a de fora tem raio de 10,5 cm e carga negativa . Temos duas partes para resolver:
a) Calcular a energia total armazenada no campo elétrico entre as esferas, usando a ideia de placas paralelas.
b) Determinar a capacitância desse sistema e mostrar que a energia armazenada é aproximadamente .
Vamos precisar entender conceitos como campo elétrico, energia elétrica no campo e capacitância. Bora passo a passo!

Passo 2

Primeiro, para a parte (a), vamos calcular a energia armazenada no campo elétrico entre as esferas. A sugestão é tratar as esferas como placas paralelas. Isso faz sentido porque a distância entre elas (0,5 cm) é pequena comparada aos seus raios, o que torna o campo quase uniforme, similar ao de placas paralelas.

Passo 3

Sabemos que a energia elétrica armazenada em um campo entre placas paralelas é dada por:
U = 12 C V^2
Mas também podemos expressar a energia em termos de carga e capacitância:
U = Q^22C
Vamos precisar calcular a capacitância do sistema para encontrar a energia.

Passo 4

A capacitância C = varepsilon0 Ad de um sistema de placas paralelas é dada por:
Onde:
  • é a permissividade do vácuo ( ),
  • é a área das placas,
  • é a distância entre elas.
No nosso caso, as “placas” são as superfícies das esferas. A área de uma esfera é .

Passo 5

Vamos calcular a área da esfera interna:
A = 4pi r1^2 = 4pi (0,10, m)^2 = 4pi times 0,01 = 0,04pi, m^2
A distância d = r2 - r1 = 0,105, m - 0,10, m = 0,005, m entre as esferas é:

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula da capacitância:
C = 8,85 times 10^-12, F/m times 0,04pi, m^20,005, m = 8,85 times 10^-12 times 0,04pi0,005
Calculando:
C = 8,85 times 10^-12 times 0,04pi0,005 = 8,85 times 10^-12 times 8pi = 8,85 times 8 times pi times 10^-12
C approx 8,85 times 25,13 times 10^-12 approx 222,2 times 10^-12, F = 222,2, pF

Passo 7

Agora que temos a capacitância, podemos calcular a energia armazenada usando:
U = Q^22C
Onde U = (5 times 10^-9)^22 times 222,2 times 10^-12 = 25 times 10^-18444,4 times 10^-12 = 25444,4 times 10^-6 , J .
Substituindo:
U approx 0,05625 times 10^-6, J = 5,625 times 10^-8, J = 56,25, nJ

Resposta

A energia total armazenada no campo elétrico interno às esferas é aproximadamente (56,25 nJ). Além disso, a capacitância do sistema é cerca de e a energia armazenada coincide com .

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