Um próton está se movendo em uma região onde existe um campo magnético uniforme dado por B=(10 i-20 j+30 k). Em um dado instante, o elétron tem uma velocidade v=(2,0 i+4,0 j) e a força magnética que age sobre a partícula é (6,4 times 10^-19 N) k. Determine B x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um próton que está se movendo num campo magnético uniforme. A gente sabe que o campo magnético é representado por um vetor B = (Bx i - 20 j + 30 k). A velocidade do próton é v = (2.0 i + 4.0 j) m/s, e a força magnética que está agindo sobre ele é F = (6.4 times 10^-19 N) k. A nossa missão aqui é descobrir o valor de Bx, que é a componente x do campo magnético.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula que relaciona a força magnética, a carga da partícula, sua velocidade e o campo magnético. Essa é a famosa Lei de Lorentz, que diz:
F = q , v times B
Onde:
  • F é a força magnética,
  • q é a carga da partícula,
  • v é a velocidade da partícula,
  • B é o campo magnético.
Essa fórmula mostra que a força magnética é o resultado do produto vetorial entre a velocidade e o campo magnético, multiplicado pela carga.

Passo 3

Agora, vamos identificar os valores que já temos:
  • A força magnética: F = 6.4 times 10^-19 k N
  • A velocidade: v = 2.0 i + 4.0 j m/s
  • O campo magnético: B = Bx i - 20 j + 30 k
  • A carga do próton: q = +1.6 times 10^-19 C
Assumimos que estamos tratando de um próton, que tem carga positiva.

Passo 4

Nosso objetivo é encontrar Bx. Para isso, vamos calcular o produto vetorial v times B e igualar ao que foi dado na força F. Vamos fazer isso passo a passo.
Primeiro, calculamos o produto vetorial:
v times B = i & j & k 2.0 & 4.0 & 0 Bx & -20 & 30

Passo 5

Resolvendo o determinante, temos:
v times B = i(4.0 times 30 - 0 times (-20)) - j(2.0 times 30 - 0 times Bx) + k(2.0 times (-20) - 4.0 times Bx)
Simplificando cada componente:
  • Componente i: 4.0 times 30 = 120
  • Componente j: 2.0 times 30 = 60
  • Componente k: 2.0 times (-20) - 4.0 times Bx = -40 - 4Bx
Então:
v times B = 120 i - 60 j + (-40 - 4Bx) k

Passo 6

Agora, voltando à Lei de Lorentz:
F = q , (v times B)
Substituindo os valores que temos:
6.4 times 10^-19 k = (1.6 times 10^-19) (120 i - 60 j + (-40 - 4Bx) k)
Vamos distribuir a carga q:
6.4 times 10^-19 k = (1.6 times 10^-19 times 120) i - (1.6 times 10^-19 times 60) j + (1.6 times 10^-19 times (-40 - 4Bx)) k
Calculando cada termo:
  • Componente i: 1.6 times 10^-19 times 120 = 1.92 times 10^-17 N
  • Componente j: -1.6 times 10^-19 times 60 = -9.6 times 10^-18 N
  • Componente k: 1.6 times 10^-19 times (-40 - 4Bx) = -6.4 times 10^-18 - 6.4 times 10^-19 Bx N
Então a equação fica:
6.4 times 10^-19 k = 1.92 times 10^-17 i - 9.6 times 10^-18 j + (-6.4 times 10^-18 - 6.4 times 10^-19 Bx) k

Passo 7

Agora, vamos comparar cada componente dos dois lados da equação. Como as componentes i e j do lado direito não aparecem no lado esquerdo (que tem apenas k), isso significa que essas forças devem ser iguais a zero para manter o equilíbrio. Porém, focaremos na componente k, já que é onde queremos encontrar Bx.
Então, igualamos as componentes k:
6.4 times 10^-19 = -6.4 times 10^-18 - 6.4 times 10^-19 Bx

Passo 8

Vamos resolver para Bx. Primeiro, vamos isolar os termos que contêm Bx:
6.4 times 10^-19 + 6.4 times 10^-18 = -6.4 times 10^-19 Bx
Somando os termos à esquerda:
7.04 times 10^-18 = -6.4 times 10^-19 Bx
Agora, dividimos ambos os lados por -6.4 times 10^-19 para encontrar Bx:
Bx = 7.04 times 10^-18-6.4 times 10^-19 = -11

Resposta

O valor de Bx é -11 teslas.

Exercícios relacionados