Um próton está se movendo em uma região onde existe um campo magnético uniforme dado por . Em um dado instante, o elétron tem uma velocidade e a força magnética que age sobre a partícula é . Determine .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um próton que está se movendo num campo magnético uniforme. A gente sabe que o campo magnético é representado por um vetor . A velocidade do próton é m/s, e a força magnética que está agindo sobre ele é . A nossa missão aqui é descobrir o valor de , que é a componente x do campo magnético.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula que relaciona a força magnética, a carga da partícula, sua velocidade e o campo magnético. Essa é a famosa Lei de Lorentz, que diz:
Onde:
é a força magnética,
é a carga da partícula,
é a velocidade da partícula,
é o campo magnético.
Essa fórmula mostra que a força magnética é o resultado do produto vetorial entre a velocidade e o campo magnético, multiplicado pela carga.
Passo 3
Agora, vamos identificar os valores que já temos:
A força magnética: N
A velocidade: m/s
O campo magnético:
A carga do próton: C
Assumimos que estamos tratando de um próton, que tem carga positiva.
Passo 4
Nosso objetivo é encontrar . Para isso, vamos calcular o produto vetorial e igualar ao que foi dado na força . Vamos fazer isso passo a passo.
Primeiro, calculamos o produto vetorial:
Passo 5
Resolvendo o determinante, temos:
v times B = i(4.0 times 30 - 0 times (-20)) - j(2.0 times 30 - 0 times Bx) + k(2.0 times (-20) - 4.0 times Bx)
Simplificando cada componente:
Componente i: 4.0 times 30 = 120
Componente j: 2.0 times 30 = 60
Componente k: 2.0 times (-20) - 4.0 times Bx = -40 - 4Bx
Então:
v times B = 120 i - 60 j + (-40 - 4Bx) k
Passo 6
Agora, voltando à Lei de Lorentz:
F = q , (v times B)
Substituindo os valores que temos:
6.4 times 10^-19 k = (1.6 times 10^-19) (120 i - 60 j + (-40 - 4Bx) k)
Vamos distribuir a carga q:
6.4 times 10^-19 k = (1.6 times 10^-19 times 120) i - (1.6 times 10^-19 times 60) j + (1.6 times 10^-19 times (-40 - 4Bx)) k
Calculando cada termo:
Componente i: 1.6 times 10^-19 times 120 = 1.92 times 10^-17 N
Componente j: -1.6 times 10^-19 times 60 = -9.6 times 10^-18 N
Componente k: 1.6 times 10^-19 times (-40 - 4Bx) = -6.4 times 10^-18 - 6.4 times 10^-19 Bx N
Então a equação fica:
6.4 times 10^-19 k = 1.92 times 10^-17 i - 9.6 times 10^-18 j + (-6.4 times 10^-18 - 6.4 times 10^-19 Bx) k
Passo 7
Agora, vamos comparar cada componente dos dois lados da equação. Como as componentes i e j do lado direito não aparecem no lado esquerdo (que tem apenas k), isso significa que essas forças devem ser iguais a zero para manter o equilíbrio. Porém, focaremos na componente k, já que é onde queremos encontrar Bx.
Então, igualamos as componentes k:
6.4 times 10^-19 = -6.4 times 10^-18 - 6.4 times 10^-19 Bx
Passo 8
Vamos resolver para Bx. Primeiro, vamos isolar os termos que contêm Bx:
6.4 times 10^-19 + 6.4 times 10^-18 = -6.4 times 10^-19 Bx
Somando os termos à esquerda:
7.04 times 10^-18 = -6.4 times 10^-19 Bx
Agora, dividimos ambos os lados por -6.4 times 10^-19 para encontrar Bx: