Duas fendas distantes 0,206 mm uma da outra, colocadas a uma distância de 0,700 m de uma tela, são iluminadas por uma luz coerente de comprimento de onda igual a 660 nm . A intensidade no centro do máximo central (theta=0^circ) é igual a Imax . Considerando apenas os efeitos de interferência (despreze a difração), responda: a) Qual é a distância sobre a tela entre o centro do máximo central e o primeiro mínimo? b) Qual é a distância sobre a tela entre o centro do máximo central e o ponto no qual a intensidade se reduz para Imax / 2 ?

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas fendas separadas por uma distância de , colocadas a uma distância de de uma tela. Essas fendas são iluminadas por uma luz coerente com comprimento de onda . No centro da tela ( ), a intensidade da luz é .
Conteúdo da matéria: Interferência de ondas, especificamente o padrão de interferência gerado por duas fendas (interferência construtiva e destrutiva).
O que vamos precisar:
  • Fórmulas para posições de máximos e mínimos de interferência.
  • Relação entre o ângulo e a posição na tela.
  • Conversão de unidades quando necessário.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI):

Passo 3

Para encontrar a distância entre o centro do máximo central e o primeiro mínimo na tela, usamos a condição para os mínimos de interferência, que ocorre quando o caminho que a luz percorre nas duas fendas difere em um múltiplo ímpar de d sin theta = (m + 12) lambda .
A condição para os mínimos é:
onde . Para o primeiro mínimo, .

Passo 4

Como d yL = (0 + 12) lambda é pequeno, podemos usar a aproximação , onde é a distância na tela desde o centro.
Então, a equação fica:

Passo 5

Resolvendo para y = (12) lambda Ld :

Passo 6

Substituindo os valores:
y = 0,5 times 660 times 10^-9 , m times 0,700 , m0,206 times 10^-3 , m

Passo 7

Calculando:
y = 0,5 times 660 times 10^-9 times 0,7000,206 times 10^-3 = 0,5 times 660 times 0,7000,206 times 10^-6 times 10^3 , m
y = 0,5 times 4620,206 times 10^-3 , m
y approx 2310,206 times 10^-3 , m
y approx 1121,35 times 10^-3 , m
y approx 1,121 , m
(Note: Houve um erro no cálculo. Vamos corrigir.)

Passo 8

Vamos refazer o cálculo corretamente:
y = 0,5 times 660 times 10^-9 times 0,7000,206 times 10^-3
y = 0,5 times 660 times 0,7000,206 times 10^-910^-3 , m
y = 2310,206 times 10^-6 , m
y approx 1121,35 times 10^-6 , m
y approx 1,121 , mm

Passo 9

Portanto, a distância entre o centro do máximo central e o primeiro mínimo na tela é aproximadamente .

Passo 10

Para a parte b), queremos encontrar a distância na tela onde a intensidade se reduz para I(theta) = Imax cos^2 ( pi d sin thetalambda ) .
A intensidade na interferência de duas fendas é dada por:
Imax2 = Imax cos^2 ( pi d sin thetalambda )
Queremos:
12 = cos^2 ( pi d sin thetalambda )

Passo 11

Resolvendo para o argumento do cosseno:
cos^2 phi = 12 implies cos phi = pm raiz22
phi = pi4 ou 3pi4
Vamos considerar a solução menor, , pois estamos interessados no primeiro ponto onde a intensidade atinge .

Passo 12

Então:
pi d sin thetalambda = pi4
d sin theta = lambda4

Passo 13

Usando novamente a aproximação d yL = lambda4 :
y = lambda L4d

Passo 14

Substituindo os valores:
y = 660 times 10^-9 , m times 0,700 , m4 times 0,206 times 10^-3 , m

Passo 15

Calculando:
y = 660 times 0,7004 times 0,206 times 10^-910^-3 , m
y = 4620,824 times 10^-6 , m
y approx 560,19 times 10^-6 , m
y approx 0,560 , mm

Resposta

a) A distância entre o centro do máximo central e o primeiro mínimo na tela é aproximadamente 1,121 mm.
b) A distância entre o centro do máximo central e o ponto onde a intensidade se reduz para é aproximadamente 0,560 mm.

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