Um capacitor de 137 pF é ligado a uma fonte de tensão tal que VC(t)=12 e^-2 t V e t >= 0 e VC(t)=12 V, t<0. Calcule a energia armazenada no capacitor em t igual a (a) 0 ; (b) 200 ms; © 500 ms; (d) 1 s.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para calcular a energia armazenada em um capacitor de 137 , pF em diferentes instantes de tempo. A gente precisa lembrar que a energia armazenada em um capacitor está relacionada à sua capacitância e à tensão que está sobre ele. Para resolver isso, vamos usar a fórmula da energia em um capacitor:
W = 12 C V^2
Onde:
  • W é a energia armazenada,
  • C é a capacitância,
  • V é a tensão no capacitor.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a expressão da tensão no capacitor para t >= 0:
VC(t) = 12 e^-2t , V
Aqui, VC(t) representa a tensão no capacitor em função do tempo. Quando t = 0, a tensão é 12 V, e ela decai exponencialmente com o tempo devido ao fator e^-2t.

Passo 3

Agora, vamos identificar os valores que vamos usar:
  • Capacitância, C = 137 , pF = 137 times 10^-12 , F
  • Tensão no capacitor: varia com o tempo conforme a expressão dada.
Vamos calcular a energia para cada caso solicitado:

Passo 4

Quando t = 0:
VC(0) = 12 e^-2 times 0 = 12 e^0 = 12 times 1 = 12 , V
Agora, usamos a fórmula da energia:
W = 12 times 137 times 10^-12 , F times (12)^2 , V^2

Passo 5

Convertendo milissegundos para segundos:
200 , ms = 0.2 , s
Calculando a tensão:
VC(0.2) = 12 e^-2 times 0.2 = 12 e^-0.4
Então, a energia será:
W = 12 times 137 times 10^-12 , F times (12 e^-0.4)^2 , V^2

Passo 6

Convertendo milissegundos para segundos:
500 , ms = 0.5 , s
Calculando a tensão:
VC(0.5) = 12 e^-2 times 0.5 = 12 e^-1
Então, a energia será:
W = 12 times 137 times 10^-12 , F times (12 e^-1)^2 , V^2

Passo 7

Calculando a tensão:
VC(1) = 12 e^-2 times 1 = 12 e^-2
Então, a energia será:
W = 12 times 137 times 10^-12 , F times (12 e^-2)^2 , V^2

Resposta

A energia armazenada no capacitor é:
(a) Em t = 0:
W = 12 times 137 times 10^-12 times 12^2 = 9.912 times 10^-9 , J
(b) Em t = 200 , ms:
W = 12 times 137 times 10^-12 times (12 e^-0.4)^2 approx 9.912 times 10^-9 times e^-0.8 approx 9.912 times 10^-9 times 0.4493 approx 4.45 times 10^-9 , J
© Em t = 500 , ms:
W = 12 times 137 times 10^-12 times (12 e^-1)^2 approx 9.912 times 10^-9 times e^-2 approx 9.912 times 10^-9 times 0.1353 approx 1.34 times 10^-9 , J
(d) Em t = 1 , s:
W = 12 times 137 times 10^-12 times (12 e^-2)^2 approx 9.912 times 10^-9 times e^-4 approx 9.912 times 10^-9 times 0.0183 approx 1.81 times 10^-10 , J

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