Duas grandes placas de aço, a temperaturas de 90^circ C e 70^circ C, estão separadas por uma haste de aço de 0,3 m de comprimento e 2,5 cm de diâmetro. A haste está soldada em cada placa e é preenchido com isolamento, que também isola a circunferência da haste. Em decorrência de uma diferença de tensão elétrica aplicada entre as duas placas, existe um fluxo de corrente através da haste, dissipando uma energia elétrica a uma taxa de 12 W . Determine a temperatura máxima na haste e a taxa de fluxo de calor em cada extremidade.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas placas de aço a temperaturas diferentes, conectadas por uma haste de aço isolada. Além disso, há uma corrente elétrica passando pela haste, dissipando 12 watts de energia. Nosso objetivo é descobrir qual é a temperatura máxima na haste e qual é a taxa de fluxo de calor em cada extremidade dela. Para resolver isso, vamos usar conceitos de condução de calor e dissipação de energia elétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a situação. Imagine a haste de aço como um fio que conecta as duas placas. A temperatura nas extremidades da haste são 90°C e 70°C. A corrente elétrica que passa pela haste gera calor adicional devido à resistência elétrica, aumentando a temperatura na haste.

Passo 3

Vamos precisar da Lei de Fourier para condução de calor, que nos ajuda a calcular o fluxo de calor através de um material. A fórmula é:
q = -k cdot A cdot dTdx
Onde:
  • é a taxa de fluxo de calor,
  • é a condutividade térmica do material,
  • é a área da seção transversal,
  • é o gradiente de temperatura.

Passo 4

Além disso, temos a dissipação de energia elétrica na haste, que adiciona calor ao sistema. A potência dissipada pela corrente elétrica é dada por:
P = 12,W
Esse calor adicional vai afetar a distribuição de temperatura ao longo da haste.

Passo 5

Vamos assumir que o sistema está em estado estacionário, ou seja, a temperatura não está mudando com o tempo. Assim, o calor gerado pela corrente elétrica é totalmente conduzido para as placas nas extremidades.

Passo 6

Primeiro, calculamos a área da seção transversal da haste. O diâmetro é 2,5 cm, então o raio A = pi r^2 = pi (0,0125)^2 approx 4,91 times 10^-4,m^2 é 1,25 cm ou 0,0125 m. A área é:

Passo 7

Agora, vamos usar a Lei de Fourier rearranjada para encontrar o gradiente de temperatura necessário para conduzir os 12 W de potência:
q = PA = 124,91 times 10^-4 approx 24471,W/m^2

Passo 8

Para encontrar a diferença de temperatura ao longo da haste, usamos:
De
Precisamos da condutividade térmica do aço. Vamos considerar De.

Passo 9

A temperatura máxima na haste ocorre no ponto onde a dissipação elétrica é máxima. Como a haste está conectada entre 90°C e 70°C, a temperatura máxima será na conexão com a placa mais quente:
Tmax = 90°C + De

Passo 10

Agora, vamos calcular a taxa de fluxo de calor em cada extremidade. Como a dissipação é uniforme, a taxa de fluxo de calor nas duas extremidades será igual a 12 W divididos pela área:
qextremo = 124,91 times 10^-4 approx 24471,W/m^2

Resposta

A temperatura máxima na haste é aproximadamente 163,41°C e a taxa de fluxo de calor em cada extremidade é de cerca de 24.471 W/m².

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