Duas hastes, uma de alumínio e outra de cobre, estão unidas pelas extremidades. A área da seção transversal de cada uma é de
e o comprimento de cada uma é de
. A extremidade livre da haste de alumínio é mantida a
, enquanto a extremidade livre da haste de cobre é mantida a
. A perda de calor através da superfície lateral das hastes pode ser desprezada. Qual a temperatura na interface alumínio-cobre?
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o enunciado nos diz e identificar o conteúdo que vamos usar. Temos duas hastes, uma de alumínio e outra de cobre, unidas nas extremidades. Cada haste tem uma área de seção transversal de
e comprimento de
. A extremidade livre da haste de alumínio está a
e a da haste de cobre a
. Precisamos encontrar a temperatura na interface entre as duas hastes. Vamos usar conceitos de condução de calor e a Lei de Fourier para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que, no estado estacionário (quando a temperatura não está mudando com o tempo), a quantidade de calor que passa pela haste de alumínio deve ser igual à que passa pela haste de cobre. Isso porque, se não houvesse esse equilíbrio, a temperatura não estaria estável.
Passo 3
A Lei de Fourier para condução de calor nos diz que a taxa de transferência de calor
através de um material é dada por:
Onde:
-
é a condutividade térmica do material, -
é a área da seção transversal, -
é a diferença de temperatura, -
é o comprimento do material.
Passo 4
Vamos aplicar essa fórmula para as duas hastes. Seja
a temperatura na interface. Para a haste de alumínio:
E para a haste de cobre:
Como os calores são iguais:
Passo 5
Podemos simplificar a equação cancelando a área
, já que é a mesma para ambas as hastes:
Passo 6
Agora, precisamos isolar
, a temperatura na interface. Vamos reorganizar a equação:
Distribuindo os termos:
Passo 7
Vamos reunir os termos com
de um lado:
Fatorando
:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Passo 8
Agora, isolamos
:
Passo 9
Vamos inserir os valores conhecidos. Primeiro, precisamos das condutividades térmicas:
- Para o alumínio,
- Para o cobre,
Temperaturas:
Comprimentos:
Passo 10
Substituindo na fórmula:
Vamos calcular o numerador e o denominador separadamente.
Numerador:
Denominador:
Resposta
Agora, dividindo o numerador pelo denominador:
Portanto, a temperatura na interface entre as hastes de alumínio e cobre é aproximadamente
.
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