Duas hastes, uma de alumínio e outra de cobre, estão unidas pelas extremidades. A área da seção transversal de cada uma é de e o comprimento de cada uma é de . A extremidade livre da haste de alumínio é mantida a , enquanto a extremidade livre da haste de cobre é mantida a . A perda de calor através da superfície lateral das hastes pode ser desprezada. Qual a temperatura na interface alumínio-cobre?

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o enunciado nos diz e identificar o conteúdo que vamos usar. Temos duas hastes, uma de alumínio e outra de cobre, unidas nas extremidades. Cada haste tem uma área de seção transversal de e comprimento de . A extremidade livre da haste de alumínio está a e a da haste de cobre a . Precisamos encontrar a temperatura na interface entre as duas hastes. Vamos usar conceitos de condução de calor e a Lei de Fourier para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que, no estado estacionário (quando a temperatura não está mudando com o tempo), a quantidade de calor que passa pela haste de alumínio deve ser igual à que passa pela haste de cobre. Isso porque, se não houvesse esse equilíbrio, a temperatura não estaria estável.

Passo 3

A Lei de Fourier para condução de calor nos diz que a taxa de transferência de calor através de um material é dada por:
Onde:
  • é a condutividade térmica do material,
  • é a área da seção transversal,
  • é a diferença de temperatura,
  • é o comprimento do material.

Passo 4

Vamos aplicar essa fórmula para as duas hastes. Seja a temperatura na interface. Para a haste de alumínio:
E para a haste de cobre:
Como os calores são iguais:

Passo 5

Podemos simplificar a equação cancelando a área , já que é a mesma para ambas as hastes:

Passo 6

Agora, precisamos isolar , a temperatura na interface. Vamos reorganizar a equação:
Distribuindo os termos:

Passo 7

Vamos reunir os termos com de um lado:
Fatorando :
Multiplicando ambos os lados por -1:

Passo 8

Agora, isolamos :

Passo 9

Vamos inserir os valores conhecidos. Primeiro, precisamos das condutividades térmicas:
  • Para o alumínio,
  • Para o cobre,
Temperaturas:
Comprimentos:

Passo 10

Substituindo na fórmula:
Vamos calcular o numerador e o denominador separadamente.
Numerador:
Denominador:

Resposta

Agora, dividindo o numerador pelo denominador:
Portanto, a temperatura na interface entre as hastes de alumínio e cobre é aproximadamente .

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