Duas hastes, uma de alumínio e outra de cobre, estão unidas pelas extremidades. A área da seção transversal de cada uma é de 4,0 times 10 m^2 e o comprimento de cada uma é de 0,040 m. A extremidade livre da haste de alumínio é mantida a 302 ^circ C, enquanto a extremidade livre da haste de cobre é mantida a 25^circ C. A perda de calor através da superfície lateral das hastes pode ser desprezada. Qual a temperatura na interface alumínio-cobre?

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o enunciado nos diz e identificar o conteúdo que vamos usar. Temos duas hastes, uma de alumínio e outra de cobre, unidas nas extremidades. Cada haste tem uma área de seção transversal de e comprimento de . A extremidade livre da haste de alumínio está a e a da haste de cobre a . Precisamos encontrar a temperatura na interface entre as duas hastes. Vamos usar conceitos de condução de calor e a Lei de Fourier para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que, no estado estacionário (quando a temperatura não está mudando com o tempo), a quantidade de calor que passa pela haste de alumínio deve ser igual à que passa pela haste de cobre. Isso porque, se não houvesse esse equilíbrio, a temperatura não estaria estável.

Passo 3

A Lei de Fourier para condução de calor nos diz que a taxa de transferência de calor Q = k cdot A cdot De através de um material é dada por:
Onde:
  • é a condutividade térmica do material,
  • é a área da seção transversal,
  • é a diferença de temperatura,
  • é o comprimento do material.

Passo 4

Vamos aplicar essa fórmula para as duas hastes. Seja QAl = kAl cdot A cdot (TAl - T)LAl a temperatura na interface. Para a haste de alumínio:
QCu = kCu cdot A cdot (T - TCu)LCu
E para a haste de cobre:
kAl cdot A cdot (TAl - T)LAl = kCu cdot A cdot (T - TCu)LCu
Como os calores são iguais:

Passo 5

Podemos simplificar a equação cancelando a área kAl cdot (TAl - T)LAl = kCu cdot (T - TCu)LCu , já que é a mesma para ambas as hastes:

Passo 6

Agora, precisamos isolar kAl cdot (TAl - T) cdot LCu = kCu cdot (T - TCu) cdot LAl , a temperatura na interface. Vamos reorganizar a equação:
kAl cdot TAl cdot LCu - kAl cdot T cdot LCu = kCu cdot T cdot LAl - kCu cdot TCu cdot LAl
Distribuindo os termos:

Passo 7

Vamos reunir os termos com -kAl cdot LCu cdot T - kCu cdot LAl cdot T = -kAl cdot TAl cdot LCu - kCu cdot TCu cdot LAl de um lado:
T cdot ( -kAl cdot LCu - kCu cdot LAl ) = -kAl cdot TAl cdot LCu - kCu cdot TCu cdot LAl
Fatorando T cdot (kAl cdot LCu + kCu cdot LAl) = kAl cdot TAl cdot LCu + kCu cdot TCu cdot LAl :
Multiplicando ambos os lados por -1:

Passo 8

Agora, isolamos T = kAl cdot TAl cdot LCu + kCu cdot TCu cdot LAlkAl cdot LCu + kCu cdot LAl :

Passo 9

Vamos inserir os valores conhecidos. Primeiro, precisamos das condutividades térmicas:
  • Para o alumínio,
  • Para o cobre,
Temperaturas:
Comprimentos:

Passo 10

Substituindo na fórmula:
T = 205 cdot 302 cdot 0,040 + 385 cdot 25 cdot 0,040205 cdot 0,040 + 385 cdot 0,040
Vamos calcular o numerador e o denominador separadamente.
Numerador:
205 cdot 302 cdot 0,040 = 205 times 302 = 61.910 times 0,040 = 2.476,4
385 cdot 25 cdot 0,040 = 385 times 25 = 9.625 times 0,040 = 385
Total do numerador = 2.476,4 + 385 = 2.861,4
Denominador:
205 cdot 0,040 = 8,2
385 cdot 0,040 = 15,4
Total do denominador = 8,2 + 15,4 = 23,6

Resposta

Agora, dividindo o numerador pelo denominador:
T = 2.861,423,6 approx 121,^circC
Portanto, a temperatura na interface entre as hastes de alumínio e cobre é aproximadamente .

Exercícios relacionados