Duas hastes, uma de alumínio e outra de cobre, estão unidas pelas extremidades. A área da seção transversal de cada uma é de
e o comprimento de cada uma é de
. A extremidade livre da haste de alumínio é mantida a
, enquanto a extremidade livre da haste de cobre é mantida a
. A perda de calor através da superfície lateral das hastes pode ser desprezada. Qual a temperatura na haste de alumínio a uma distância de 0,015 m da extremidade mais quente?
Passo 1
Vamos lá! O enunciado fala sobre condução de calor em duas hastes unidas: uma de alumínio e outra de cobre. Queremos descobrir qual é a temperatura em um ponto específico da haste de alumínio, a 0,015 metros da extremidade mais quente (302°C). Para resolver isso, vamos precisar entender como o calor se propaga através dos materiais e usar algumas fórmulas de condução térmica.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as propriedades dos materiais que vamos usar:
- Área da seção transversal (A):
- Comprimento de cada haste (L):
- Temperaturas nas extremidades:
- Haste de alumínio:
- Haste de cobre:
- Haste de alumínio:
Precisamos também saber as condutividades térmicas dos materiais:
- Alumínio (k₁): aproximadamente
- Cobre (k₂): aproximadamente
Passo 3
Como estamos lidando com condução de calor em estado estacionário (sem mudança de temperatura com o tempo), podemos usar a Lei de Fourier para condução térmica:
Onde:
-
é a taxa de fluxo de calor (W) -
é a condutividade térmica do material -
é a área da seção transversal -
é a diferença de temperatura -
é o comprimento pelo qual o calor está se transferindo
Passo 4
Como as hastes estão unidas e em regime estacionário, o fluxo de calor (
) que passa pela haste de alumínio deve ser igual ao que passa pela haste de cobre. Então:
Aqui,
é a temperatura no ponto onde as duas hastes se encontram.
Passo 5
Vamos simplificar a equação cancelando a área
que está presente nos dois lados:
Agora, substituímos os valores conhecidos:
Passo 6
Como os comprimentos
e
são iguais, eles também se cancelam. Então, simplificamos ainda mais:
Passo 7
Agora, vamos resolver para
:
Passo 8
Agora que encontramos a temperatura na junção (
), queremos saber a temperatura a 0,015 m da extremidade mais quente na haste de alumínio. Vamos usar novamente a Lei de Fourier para a haste de alumínio:
Onde:
-
é a temperatura a 0,015 m da extremidade quente -
Sabemos que o fluxo de calor
já calculamos ser igual em ambas as hastes, então podemos igualar as expressões e resolver para
:
Passo 9
Resolvendo para
:
Primeiro, simplificamos os 205 que estão em ambos os lados:
Resposta
A temperatura na haste de alumínio a uma distância de 0,015 m da extremidade mais quente é aproximadamente 234,1 °C.
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