Duas hastes, uma de alumínio e outra de cobre, estão unidas pelas extremidades. A área da seção transversal de cada uma é de e o comprimento de cada uma é de . A extremidade livre da haste de alumínio é mantida a , enquanto a extremidade livre da haste de cobre é mantida a . A perda de calor através da superfície lateral das hastes pode ser desprezada. Qual a temperatura na haste de alumínio a uma distância de 0,015 m da extremidade mais quente?

Passo 1

Vamos lá! O enunciado fala sobre condução de calor em duas hastes unidas: uma de alumínio e outra de cobre. Queremos descobrir qual é a temperatura em um ponto específico da haste de alumínio, a 0,015 metros da extremidade mais quente (302°C). Para resolver isso, vamos precisar entender como o calor se propaga através dos materiais e usar algumas fórmulas de condução térmica.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as propriedades dos materiais que vamos usar:
  • Área da seção transversal (A):
  • Comprimento de cada haste (L):
  • Temperaturas nas extremidades:
    • Haste de alumínio:
    • Haste de cobre:
Precisamos também saber as condutividades térmicas dos materiais:
  • Alumínio (k₁): aproximadamente
  • Cobre (k₂): aproximadamente

Passo 3

Como estamos lidando com condução de calor em estado estacionário (sem mudança de temperatura com o tempo), podemos usar a Lei de Fourier para condução térmica:
Onde:
  • é a taxa de fluxo de calor (W)
  • é a condutividade térmica do material
  • é a área da seção transversal
  • é a diferença de temperatura
  • é o comprimento pelo qual o calor está se transferindo

Passo 4

Como as hastes estão unidas e em regime estacionário, o fluxo de calor ( ) que passa pela haste de alumínio deve ser igual ao que passa pela haste de cobre. Então:
Aqui, é a temperatura no ponto onde as duas hastes se encontram.

Passo 5

Vamos simplificar a equação cancelando a área que está presente nos dois lados:
Agora, substituímos os valores conhecidos:

Passo 6

Como os comprimentos e são iguais, eles também se cancelam. Então, simplificamos ainda mais:

Passo 7

Agora, vamos resolver para :

Passo 8

Agora que encontramos a temperatura na junção ( ), queremos saber a temperatura a 0,015 m da extremidade mais quente na haste de alumínio. Vamos usar novamente a Lei de Fourier para a haste de alumínio:
Onde:
  • é a temperatura a 0,015 m da extremidade quente
Sabemos que o fluxo de calor já calculamos ser igual em ambas as hastes, então podemos igualar as expressões e resolver para :

Passo 9

Resolvendo para :
Primeiro, simplificamos os 205 que estão em ambos os lados:

Resposta

A temperatura na haste de alumínio a uma distância de 0,015 m da extremidade mais quente é aproximadamente 234,1 °C.

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