Duas hastes, uma de alumínio e outra de cobre, estão unidas pelas extremidades. A área da seção transversal de cada uma é de 4,0 times 10 m^2 e o comprimento de cada uma é de 0,040 m. A extremidade livre da haste de alumínio é mantida a 302 ^circ C, enquanto a extremidade livre da haste de cobre é mantida a 25^circ C. A perda de calor através da superfície lateral das hastes pode ser desprezada. Qual a temperatura na haste de alumínio a uma distância de 0,015 m da extremidade mais quente?

Passo 1

Vamos lá! O enunciado fala sobre condução de calor em duas hastes unidas: uma de alumínio e outra de cobre. Queremos descobrir qual é a temperatura em um ponto específico da haste de alumínio, a 0,015 metros da extremidade mais quente (302°C). Para resolver isso, vamos precisar entender como o calor se propaga através dos materiais e usar algumas fórmulas de condução térmica.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as propriedades dos materiais que vamos usar:
  • Área da seção transversal (A):
  • Comprimento de cada haste (L):
  • Temperaturas nas extremidades:
    • Haste de alumínio:
    • Haste de cobre:
Precisamos também saber as condutividades térmicas dos materiais:
  • Alumínio (k₁): aproximadamente
  • Cobre (k₂): aproximadamente

Passo 3

Como estamos lidando com condução de calor em estado estacionário (sem mudança de temperatura com o tempo), podemos usar a Lei de Fourier para condução térmica:
q = k cdot A cdot De
Onde:
  • é a taxa de fluxo de calor (W)
  • é a condutividade térmica do material
  • é a área da seção transversal
  • é a diferença de temperatura
  • é o comprimento pelo qual o calor está se transferindo

Passo 4

Como as hastes estão unidas e em regime estacionário, o fluxo de calor ( k1 cdot A cdot (Tquente - T)L1 = k2 cdot A cdot (T - Tfria)L2 ) que passa pela haste de alumínio deve ser igual ao que passa pela haste de cobre. Então:
Aqui, é a temperatura no ponto onde as duas hastes se encontram.

Passo 5

Vamos simplificar a equação cancelando a área k1 cdot (Tquente - T)L1 = k2 cdot (T - Tfria)L2 que está presente nos dois lados:
205 cdot (302 - T)0,040 = 385 cdot (T - 25)0,040
Agora, substituímos os valores conhecidos:

Passo 6

Como os comprimentos 205 cdot (302 - T) = 385 cdot (T - 25) e são iguais, eles também se cancelam. Então, simplificamos ainda mais:

Passo 7

Agora, vamos resolver para 205 cdot 302 - 205T = 385T - 385 cdot 25 :
61810 - 205T = 385T - 9625
61810 + 9625 = 385T + 205T
71435 = 590T
T = 71435590 approx 121,°C

Passo 8

Agora que encontramos a temperatura na junção ( q = k1 cdot A cdot (Tquente - T')x ), queremos saber a temperatura a 0,015 m da extremidade mais quente na haste de alumínio. Vamos usar novamente a Lei de Fourier para a haste de alumínio:
205 cdot (302 - T')0,015 = 205 cdot (302 - 121)0,040
Onde:
  • é a temperatura a 0,015 m da extremidade quente
Sabemos que o fluxo de calor já calculamos ser igual em ambas as hastes, então podemos igualar as expressões e resolver para :

Passo 9

Resolvendo para 205 cdot (302 - T') cdot 10,015 = 205 cdot 181 cdot 10,040 :
302 - T'0,015 = 1810,040
Primeiro, simplificamos os 205 que estão em ambos os lados:
302 - T' = 1810,040 times 0,015
302 - T' = 181 times 0,375
302 - T' = 67,875
T' = 302 - 67,875 = 234,125,°C

Resposta

A temperatura na haste de alumínio a uma distância de 0,015 m da extremidade mais quente é aproximadamente 234,1 °C.

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