Duas hastes, uma de alumínio e outra de cobre, estão unidas pelas extremidades. A área da seção transversal de cada uma é de
e o comprimento de cada uma é de
. A extremidade livre da haste de alumínio é mantida a
, enquanto a extremidade livre da haste de cobre é mantida a
. A perda de calor através da superfície lateral das hastes pode ser desprezada. Qual a temperatura na haste de alumínio a uma distância de 0,015 m da extremidade
mais
quente?
mais
quente?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas hastes, uma de alumínio e outra de cobre, que estão unidas nas extremidades. Cada haste tem uma área de seção transversal de
e um comprimento de
. A extremidade da haste de alumínio está a
e a da haste de cobre está a
. A gente quer descobrir qual é a temperatura na haste de alumínio a
da extremidade mais quente.
Vamos precisar usar Lei de Fourier para condução de calor e considerar que as hastes estão em estado estacionário, ou seja, a temperatura não varia com o tempo. Também vamos tratar as hastes como condutores térmicos e usar o conceito de resistência térmica para combinar os materiais diferentes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a Lei de Fourier, que nos diz que a taxa de transferência de calor
através de um material é dada por:
Onde:
-
é a condutividade térmica do material, -
é a área da seção transversal, -
é a diferença de temperatura, -
é o comprimento do material.
Como as hastes estão em série, a mesma quantidade de calor
passa por ambas. Vamos considerar a resistência térmica
de cada haste, que é dada por:
Passo 3
Vamos calcular a resistência térmica de cada haste.
Primeiro, para o alumínio, a condutividade térmica
é aproximadamente
.
Agora, para o cobre, a condutividade térmica
é aproximadamente
.
Passo 4
Agora, vamos somar as resistências térmicas das duas hastes para obter a resistência total
:
Sabemos que a diferença total de temperatura
entre as extremidades é:
A taxa de transferência de calor
é então:
Passo 5
Agora, queremos encontrar a temperatura na haste de alumínio a
da extremidade mais quente. Vamos chamar essa posição de
.
Usando a Lei de Fourier novamente para a haste de alumínio, rearranjamos para encontrar a diferença de temperatura
até o ponto
:
Substituindo os valores:
Resposta
A temperatura na haste de alumínio a
da extremidade mais quente é aproximadamente
.