Duas hastes, uma de alumínio e outra de cobre, estão unidas pelas extremidades. A área da seção transversal de cada uma é de 4,0 times 10 m^2 e o comprimento de cada uma é de 0,040 m. A extremidade livre da haste de alumínio é mantida a 302 ^circ C, enquanto a extremidade livre da haste de cobre é mantida a 25^circ C. A perda de calor através da superfície lateral das hastes pode ser desprezada. Qual a temperatura na haste de alumínio a uma distância de 0,015 m da extremidade
mais
quente?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas hastes, uma de alumínio e outra de cobre, que estão unidas nas extremidades. Cada haste tem uma área de seção transversal de e um comprimento de . A extremidade da haste de alumínio está a e a da haste de cobre está a . A gente quer descobrir qual é a temperatura na haste de alumínio a da extremidade mais quente.
Vamos precisar usar Lei de Fourier para condução de calor e considerar que as hastes estão em estado estacionário, ou seja, a temperatura não varia com o tempo. Também vamos tratar as hastes como condutores térmicos e usar o conceito de resistência térmica para combinar os materiais diferentes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a Lei de Fourier, que nos diz que a taxa de transferência de calor Q = k cdot A cdot De através de um material é dada por:
R = Lk cdot A
Onde:
  • é a condutividade térmica do material,
  • é a área da seção transversal,
  • é a diferença de temperatura,
  • é o comprimento do material.
Como as hastes estão em série, a mesma quantidade de calor passa por ambas. Vamos considerar a resistência térmica de cada haste, que é dada por:

Passo 3

Vamos calcular a resistência térmica de cada haste.
Primeiro, para o alumínio, a condutividade térmica RAl = LAlkAl cdot A = 0,040205 cdot 4,0 times 10^-4 = 0,0400,082 approx 0,488 , K/W é aproximadamente RCu = LCukCu cdot A = 0,040385 cdot 4,0 times 10^-4 = 0,0400,154 approx 0,259 , K/W .
Agora, para o cobre, a condutividade térmica é aproximadamente .

Passo 4

Agora, vamos somar as resistências térmicas das duas hastes para obter a resistência total Rtotal = RAl + RCu = 0,488 + 0,259 = 0,747 , K/W :
De
Sabemos que a diferença total de temperatura Q = De entre as extremidades é:
A taxa de transferência de calor é então:

Passo 5

Agora, queremos encontrar a temperatura na haste de alumínio a De da extremidade mais quente. Vamos chamar essa posição de De.
Usando a Lei de Fourier novamente para a haste de alumínio, rearranjamos para encontrar a diferença de temperatura até o ponto :
Substituindo os valores:

Resposta

A temperatura na haste de alumínio a da extremidade mais quente é aproximadamente .

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