Duas impedâncias Z1=4 /-30^circ e Z2=5 / 60^circ estão em paralelo submetidas ao fasor V=20 / 0^circ. Determinar o triângulo das potências de cada ramo e combi-ná-los para obter o triângulo total.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre duas impedâncias $ Z_1 = 4 \angle -30^{\circ} $ e $ Z_2 = 5 \angle 60^{\circ} $ que estão em paralelo e conectadas a um fasor de tensão $ \mathbf{V} = 20 \angle 0^{\circ} $. Nosso objetivo aqui é determinar o triângulo das potências de cada ramo e depois combiná-los para obter o triângulo total. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como impedância em paralelo, fasores, corrente em cada ramo e como calcular a potência em circuitos AC.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando duas impedâncias estão em paralelo, a admissão total $ Y_{total} $ é a soma das admissões individuais. A admissão é o inverso da impedância. Então, vamos calcular a admissão de cada impedância.
Para $ Z_1 = 4 \angle -30^{\circ} $:
Ytotal
Para $ Z_2 = 5 \angle 60^{\circ} $:
Z1 = 4 ang<= -30^circ

Passo 3

Agora, somamos as admissões para encontrar a admissão total do paralelo:
Ytotal = Y1 + Y2 = 0.25 ang<= 30^circ + 0.2 ang<= -60^circ
Vamos converter essas admissões para a forma retangular para facilitar a soma:
Y1 = 0.25 (cos30^circ + j sin30^circ) = 0.25 times 0.8660 + j0.25 times 0.5 = 0.2165 + j0.125 , S
Y2 = 0.2 (cos(-60^circ) + j sin(-60^circ)) = 0.2 times 0.5 + j0.2 times (-0.8660) = 0.1 - j0.1732 , S
Somando:
Ytotal = (0.2165 + 0.1) + j(0.125 - 0.1732) = 0.3165 - j0.0482 , S

Passo 4

Com a admissão total, podemos encontrar a corrente total $ I_{total} $ usando a relação:
Itotal
Itotal = V times Ytotal
Multiplicando:
Itotal = 20 ang<= 0^circ times (0.3165 - j0.0482)
Itotal = 20 times 0.3165 + 20 times (-j0.0482) = 6.33 - j0.964 , A
Itotal = raiz6.33^2 + (-0.964)^2 ang<= arctan(-0.9646.33)

Passo 5

Agora, vamos encontrar a corrente em cada ramo usando a admissão individual.
Para $ Z_1 $:
Z1
Para $ Z_2 $:
I1 = V times Y1 = 20 ang<= 0^circ times 0.25 ang<= 30^circ = 5 ang<= 30^circ , A

Passo 6

Com as correntes de cada ramo, podemos calcular a potência complexa em cada um.
A potência complexa $ S $ é dada por:
S
onde $ I^* $ é o conjugado da corrente.
Para $ S_1 $:
S = V times I^*
Isso significa:
I^*
S1
Para $ S_2 $:
S1 = 20 ang<= 0^circ times 5 ang<= -30^circ = 100 ang<= -30^circ , VA
Isso significa:
P1 = 100 cos(-30^circ) = 86.6 , W
Q1 = 100 sin(-30^circ) = -50 , VAR

Passo 7

Vamos desenhar os triângulos de potência para cada ramo.
Para $ Z_1 $:
  • Potência ativa $ P_1 = 86.6 , W $
  • Potência reativa $ Q_1 = -50 , VAR $ (indicando reativo capacitivo)
Para $ Z_2 $:
  • Potência ativa $ P_2 = 40 , W $
  • Potência reativa $ Q_2 = 69.3 , VAR $ (indicando reativo indutivo)

Passo 8

Por fim, para obter o triângulo total das potências, somamos as potências ativas e reativas de cada ramo:
Ptotal = P1 + P2 = 86.6 + 40 = 126.6 , W
Qtotal = Q1 + Q2 = -50 + 69.3 = 19.3 , VAR

Resposta

O triângulo total das potências é composto por uma potência ativa de $ 126.6 , W $ e uma potência reativa de $ 19.3 , VAR $. Isso significa que o sistema tem uma componente ativa predominante, com um pequeno componente reativo indutivo.

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