Duas máquinas são usadas para encher garrafas de plástico com detergente para lavagem de pratos. Os desvios padrão do volume de enchimento são conhecidos como sendo
onça fluida e
onça fluida para as duas máquinas, respectivamente. Duas amostras aleatórias de
garrafas da máquina 1 e
garrafas da máquina 2 são selecionadas. Os volumes médios de enchimento nas amostras são
onças fluidas e
onças fluidas. Suponha a normalidade dos dados, e teste a hipótese de que ambas as máquinas enchem o mesmo volume médio. Use
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas máquinas que enchem garrafas de detergente e queremos saber se, em média, elas enchem a mesma quantidade de líquido. Para isso, vamos usar um teste estatístico que compara as médias de duas amostras independentes. Precisamos dos desvios padrão das duas máquinas, o tamanho das amostras, as médias das amostras e o nível de significância (α = 0,05).
Passo 2
Primeiro, vamos definir nossas hipóteses. A hipótese nula (H₀) é que as duas máquinas enchem o mesmo volume médio, ou seja, não há diferença entre elas. A hipótese alternativa (H₁) é que existe uma diferença no volume médio de enchimento entre as duas máquinas.
Matematicamente:
- H₀: μ_X = μ_Y
- H₁: μ_X ≠ μ_Y
Passo 3
Como conhecemos os desvios padrão das duas máquinas e assumimos que os dados seguem uma distribuição normal, podemos usar o teste z para comparar as médias. O próximo passo é calcular o erro padrão da diferença entre as duas médias. A fórmula para o erro padrão (SE) é:
Onde:
- σ_X = 0,1 onça fluida
- σ_Y = 0,15 onça fluida
- n_X = 12
- n_Y = 10
Passo 4
Vamos calcular o erro padrão (SE):
Passo 5
Agora, calculamos o valor do teste z usando a diferença entre as médias das amostras e o erro padrão:
Passo 6
Vamos determinar o valor crítico para um teste bicaudal com α = 0,05. Procurando na tabela z, o valor crítico para α/2 = 0,025 de cada lado é aproximadamente ±1,96.
Passo 7
Comparando o z calculado (≈4,86) com os valores críticos (±1,96), vemos que 4,86 está muito além de 1,96. Isso significa que a diferença observada nas médias é estatisticamente significativa.
Resposta
Com base no teste realizado, rejeitamos a hipótese nula. Portanto, há evidências suficientes para concluir que as duas máquinas não enchem o mesmo volume médio de detergente.
Exercícios relacionados
Se
e
são eventos mutuamente exclusivos tal que
e
, calcule:
b)
b)
(Problema 27) Numa pesquisa de mercado para estudar a preferência da população de uma cidade em relação a um determinado produto, colheu-se uma amostra aleatória de 300 indivíduos, dos quais 180 preferiam esse produto.
a) Determine um intervalo de confiança para a proporção da população que prefere o produto em estudo; tome .
b) Determine a probabilidade de que a estimativa pontual dessa proporção não difira do verdadeiro valor em mais de 0,001.
c) É possível obter uma estimativa pontual dessa proporção que não difira do valor verdadeiro em mais de 0,0005 com probabilidade 0,95? Caso contrário, determine o que deve ser feito.
a) Determine um intervalo de confiança para a proporção da população que prefere o produto em estudo; tome
b) Determine a probabilidade de que a estimativa pontual dessa proporção não difira do verdadeiro valor em mais de 0,001.
c) É possível obter uma estimativa pontual dessa proporção que não difira do valor verdadeiro em mais de 0,0005 com probabilidade 0,95? Caso contrário, determine o que deve ser feito.
(Problema 20) Antes de uma eleição, um determinado partido está interessado em estimar a proporção
de eleitores favoráveis ao seu candidato. Uma amostra piloto de tamanho 100 revelou que
dos eleitores eram favoráveis ao candidato em questão.
a) Determine o tamanho da amostra necessário para que o erro cometido na estimação seja de, no máximo, 0,01 com probabilidade de .
b) Se na amostra final, com tamanho igual ao obtido em (a), observou-se que dos eleitores eram favoráveis ao candidato em questão, construa um intervalo de confiança para a proporção
. Utilize
.
a) Determine o tamanho da amostra necessário para que o erro cometido na estimação seja de, no máximo, 0,01 com probabilidade de
b) Se na amostra final, com tamanho igual ao obtido em (a), observou-se que
Se
e
são eventos mutuamente exclusivos tal que
e
, calcule:
a)
a)