Duas máquinas são usadas para encher garrafas de plástico com detergente para lavagem de pratos. Os desvios padrão do volume de enchimento são conhecidos como sendo sigmaX=0,1 onça fluida e sigmaY=0,15 onça fluida para as duas máquinas, respectivamente. Duas amostras aleatórias de nX=12 garrafas da máquina 1 e nY=10 garrafas da máquina 2 são selecionadas. Os volumes médios de enchimento nas amostras são barx=30,61 onças fluidas e bary=30,34 onças fluidas. Suponha a normalidade dos dados, e teste a hipótese de que ambas as máquinas enchem o mesmo volume médio. Use alpha=0,05.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas máquinas que enchem garrafas de detergente e queremos saber se, em média, elas enchem a mesma quantidade de líquido. Para isso, vamos usar um teste estatístico que compara as médias de duas amostras independentes. Precisamos dos desvios padrão das duas máquinas, o tamanho das amostras, as médias das amostras e o nível de significância (α = 0,05).

Passo 2

Primeiro, vamos definir nossas hipóteses. A hipótese nula (H₀) é que as duas máquinas enchem o mesmo volume médio, ou seja, não há diferença entre elas. A hipótese alternativa (H₁) é que existe uma diferença no volume médio de enchimento entre as duas máquinas.
Matematicamente:
  • H₀: μ_X = μ_Y
  • H₁: μ_X ≠ μ_Y

Passo 3

Como conhecemos os desvios padrão das duas máquinas e assumimos que os dados seguem uma distribuição normal, podemos usar o teste z para comparar as médias. O próximo passo é calcular o erro padrão da diferença entre as duas médias. A fórmula para o erro padrão (SE) é:
SE = raizsigmaX^2nX + sigmaY^2nY
Onde:
  • σ_X = 0,1 onça fluida
  • σ_Y = 0,15 onça fluida
  • n_X = 12
  • n_Y = 10

Passo 4

Vamos calcular o erro padrão (SE):
SE = raiz0,1^212 + 0,15^210 = raiz0,0112 + 0,022510 = raiz0,000833 + 0,00225 = raiz0,003083 approx 0,0555

Passo 5

Agora, calculamos o valor do teste z usando a diferença entre as médias das amostras e o erro padrão:
z = barx - barySE = 30,61 - 30,340,0555 = 0,270,0555 approx 4,86

Passo 6

Vamos determinar o valor crítico para um teste bicaudal com α = 0,05. Procurando na tabela z, o valor crítico para α/2 = 0,025 de cada lado é aproximadamente ±1,96.

Passo 7

Comparando o z calculado (≈4,86) com os valores críticos (±1,96), vemos que 4,86 está muito além de 1,96. Isso significa que a diferença observada nas médias é estatisticamente significativa.

Resposta

Com base no teste realizado, rejeitamos a hipótese nula. Portanto, há evidências suficientes para concluir que as duas máquinas não enchem o mesmo volume médio de detergente.

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