(Problema 27) Numa pesquisa de mercado para estudar a preferência da população de uma cidade em relação a um determinado produto, colheu-se uma amostra aleatória de 300 indivíduos, dos quais 180 preferiam esse produto.
a) Determine um intervalo de confiança para a proporção da população que prefere o produto em estudo; tome
.
b) Determine a probabilidade de que a estimativa pontual dessa proporção não difira do verdadeiro valor em mais de 0,001.
c) É possível obter uma estimativa pontual dessa proporção que não difira do valor verdadeiro em mais de 0,0005 com probabilidade 0,95? Caso contrário, determine o que deve ser feito.
a) Determine um intervalo de confiança para a proporção da população que prefere o produto em estudo; tome
b) Determine a probabilidade de que a estimativa pontual dessa proporção não difira do verdadeiro valor em mais de 0,001.
c) É possível obter uma estimativa pontual dessa proporção que não difira do valor verdadeiro em mais de 0,0005 com probabilidade 0,95? Caso contrário, determine o que deve ser feito.
Passo 1
Vamos analisar o problema: uma pesquisa de mercado com 300 pessoas, das quais 180 preferem um certo produto. Precisamos resolver três questões sobre a proporção da população que prefere esse produto usando conceitos de estatística, como proporções, intervalos de confiança e probabilidades.
Passo 2
Parte a)
Primeiro, vamos determinar o intervalo de confiança de 90% para a proporção da população que prefere o produto.
- Calcular a proporção amostral (
):
- Encontrar o valor crítico
para 90% de confiança:
Para um nível de confiança de 90%, o valor crítico
é aproximadamente 1,645.
- Calcular o erro padrão (EP):
- Determinar a margem de erro (ME):
- Calcular o intervalo de confiança:
Arredondando para três casas decimais:
Passo 3
Parte b)
Agora, vamos determinar a probabilidade de que a estimativa pontual (
) não difira do verdadeiro valor
em mais de 0,001.
- Calcular o desvio padrão da distribuição de
:
- Determinar a diferença desejada (
):
- Calcular o valor de
:
- Encontrar a probabilidade correspondente:
Usando a tabela da distribuição normal,
é aproximadamente 2,8%.
Passo 4
Parte c)
Queremos saber se é possível obter uma estimativa que não difira do verdadeiro valor em mais de 0,0005 com probabilidade de 95%.
- Usar a fórmula para o tamanho da amostra:
- Substituir os valores:
- Calcular
:
Ou seja, seriam necessários aproximadamente 3,69 milhões de indivíduos na amostra, o que não é viável.
Resposta
a) O intervalo de confiança de 90% para a proporção da população que prefere o produto está entre aproximadamente 55,3% e 64,7%.
b) A probabilidade é de aproximadamente 2,8%.
c) Não é possível obter tal estimativa com uma margem de erro de 0,0005 e probabilidade de 95%. Seria necessário aumentar significativamente o tamanho da amostra.
Exercícios relacionados
Sabendo que
e
. Calcule:
a)
a)
Na fabricação de semicondutores, o ataque químico por via úmida é frequentemente usado para remover silicone da parte posterior das pastilhas antes da metalização. A taxa de ataque é uma característica importante nesse processo e é sabido que ela segue uma distribuição normal. Duas soluções diferentes para ataque químico têm sido comparadas, usando duas amostras aleatórias de 10 pastilhas para cada solução. As taxas observadas de ataque (
polegadas
são dadas a seguir:
Solução 1 | 9,9 | 9,4 | 9,3 | 9,6 | 10,2 | 10,6 | 10,3 | 10,0 | 10,3 | 10,1 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Solução 2 | 10,2 | 10,6 | 10,7 | 10,4 | 10,5 | 10,0 | 10,2 | 10,7 | 10,4 | 10,3 |
Os dados justificam a afirmação de que a taxa média de ataque seja a mesma para ambas as soluções? Considere que ambas as populações tenham variâncias iguais a
e use
.
Se
e
são eventos mutuamente exclusivos tal que
e
, calcule:
b)
b)
Duas máquinas são usadas para encher garrafas de plástico com detergente para lavagem de pratos. Os desvios padrão do volume de enchimento são conhecidos como sendo
onça fluida e
onça fluida para as duas máquinas, respectivamente. Duas amostras aleatórias de
garrafas da máquina 1 e
garrafas da máquina 2 são selecionadas. Os volumes médios de enchimento nas amostras são
onças fluidas e
onças fluidas. Suponha a normalidade dos dados, e teste a hipótese de que ambas as máquinas enchem o mesmo volume médio. Use
.