(Problema 27) Numa pesquisa de mercado para estudar a preferência da população de uma cidade em relação a um determinado produto, colheu-se uma amostra aleatória de 300 indivíduos, dos quais 180 preferiam esse produto.
a) Determine um intervalo de confiança para a proporção da população que prefere o produto em estudo; tome
.
b) Determine a probabilidade de que a estimativa pontual dessa proporção não difira do verdadeiro valor em mais de 0,001.
c) É possível obter uma estimativa pontual dessa proporção que não difira do valor verdadeiro em mais de 0,0005 com probabilidade 0,95? Caso contrário, determine o que deve ser feito.
a) Determine um intervalo de confiança para a proporção da população que prefere o produto em estudo; tome
b) Determine a probabilidade de que a estimativa pontual dessa proporção não difira do verdadeiro valor em mais de 0,001.
c) É possível obter uma estimativa pontual dessa proporção que não difira do valor verdadeiro em mais de 0,0005 com probabilidade 0,95? Caso contrário, determine o que deve ser feito.
Passo 1
Vamos analisar o problema: uma pesquisa de mercado com 300 pessoas, das quais 180 preferem um certo produto. Precisamos resolver três questões sobre a proporção da população que prefere esse produto usando conceitos de estatística, como proporções, intervalos de confiança e probabilidades.
Passo 2
Parte a)
Primeiro, vamos determinar o intervalo de confiança de 90% para a proporção da população que prefere o produto.
- Calcular a proporção amostral (
):
- Encontrar o valor crítico
para 90% de confiança:
Para um nível de confiança de 90%, o valor crítico
é aproximadamente 1,645.
- Calcular o erro padrão (EP):
- Determinar a margem de erro (ME):
- Calcular o intervalo de confiança:
Arredondando para três casas decimais:
Passo 3
Parte b)
Agora, vamos determinar a probabilidade de que a estimativa pontual (
) não difira do verdadeiro valor
em mais de 0,001.
- Calcular o desvio padrão da distribuição de
:
- Determinar a diferença desejada (
):
- Calcular o valor de
:
- Encontrar a probabilidade correspondente:
Usando a tabela da distribuição normal,
é aproximadamente 2,8%.
Passo 4
Parte c)
Queremos saber se é possível obter uma estimativa que não difira do verdadeiro valor em mais de 0,0005 com probabilidade de 95%.
- Usar a fórmula para o tamanho da amostra:
- Substituir os valores:
- Calcular
:
Ou seja, seriam necessários aproximadamente 3,69 milhões de indivíduos na amostra, o que não é viável.
Resposta
a) O intervalo de confiança de 90% para a proporção da população que prefere o produto está entre aproximadamente 55,3% e 64,7%.
b) A probabilidade é de aproximadamente 2,8%.
c) Não é possível obter tal estimativa com uma margem de erro de 0,0005 e probabilidade de 95%. Seria necessário aumentar significativamente o tamanho da amostra.