(Problema 27) Numa pesquisa de mercado para estudar a preferência da população de uma cidade em relação a um determinado produto, colheu-se uma amostra aleatória de 300 indivíduos, dos quais 180 preferiam esse produto.
a) Determine um intervalo de confiança para a proporção da população que prefere o produto em estudo; tome gamma=0,90.
b) Determine a probabilidade de que a estimativa pontual dessa proporção não difira do verdadeiro valor em mais de 0,001.
c) É possível obter uma estimativa pontual dessa proporção que não difira do valor verdadeiro em mais de 0,0005 com probabilidade 0,95? Caso contrário, determine o que deve ser feito.

Passo 1

Vamos analisar o problema: uma pesquisa de mercado com 300 pessoas, das quais 180 preferem um certo produto. Precisamos resolver três questões sobre a proporção da população que prefere esse produto usando conceitos de estatística, como proporções, intervalos de confiança e probabilidades.

Passo 2

Parte a)
Primeiro, vamos determinar o intervalo de confiança de 90% para a proporção da população que prefere o produto.
  1. Calcular a proporção amostral ( p = 180300 = 0,6 ):
EP = raizp(1 - p)n = raiz0,6 times 0,4300 approx 0,0283
  1. Encontrar o valor crítico ME = z times EP = 1,645 times 0,0283 approx 0,0466 para 90% de confiança:
Para um nível de confiança de 90%, o valor crítico p pm ME = 0,6 pm 0,0466 Rightarrow (0,5534, 0,6466) é aproximadamente 1,645.
  1. Calcular o erro padrão (EP):
(0,553, 0,647)
  1. Determinar a margem de erro (ME):
  1. Calcular o intervalo de confiança:
Arredondando para três casas decimais:

Passo 3

Parte b)
Agora, vamos determinar a probabilidade de que a estimativa pontual ( sigmap = raizp(1 - p)n approx raiz0,6 times 0,4300 approx 0,0283 ) não difira do verdadeiro valor E = 0,001 em mais de 0,001.
  1. Calcular o desvio padrão da distribuição de Z = Esigmap = 0,0010,0283 approx 0,0353 :
  1. Determinar a diferença desejada ( ):
  1. Calcular o valor de :
  1. Encontrar a probabilidade correspondente:
Usando a tabela da distribuição normal, é aproximadamente 2,8%.

Passo 4

Parte c)
Queremos saber se é possível obter uma estimativa que não difira do verdadeiro valor em mais de 0,0005 com probabilidade de 95%.
  1. Usar a fórmula para o tamanho da amostra:
n = z^2 times p(1 - p)E^2
  1. Substituir os valores:
z = 1,96 (para 95% de confiança) ç
p = 0,6
E = 0,0005
  1. Calcular n = 1,96^2 times 0,6 times 0,40,0005^2 approx 3.687.936 :
Ou seja, seriam necessários aproximadamente 3,69 milhões de indivíduos na amostra, o que não é viável.

Resposta

a) O intervalo de confiança de 90% para a proporção da população que prefere o produto está entre aproximadamente 55,3% e 64,7%.
b) A probabilidade é de aproximadamente 2,8%.
c) Não é possível obter tal estimativa com uma margem de erro de 0,0005 e probabilidade de 95%. Seria necessário aumentar significativamente o tamanho da amostra.

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