(Problema 20) Antes de uma eleição, um determinado partido está interessado em estimar a proporção
de eleitores favoráveis ao seu candidato. Uma amostra piloto de tamanho 100 revelou que
dos eleitores eram favoráveis ao candidato em questão.
a) Determine o tamanho da amostra necessário para que o erro cometido na estimação seja de, no máximo, 0,01 com probabilidade de
.
b) Se na amostra final, com tamanho igual ao obtido em (a), observou-se que
dos eleitores eram favoráveis ao candidato em questão, construa um intervalo de confiança para a proporção
. Utilize
.
a) Determine o tamanho da amostra necessário para que o erro cometido na estimação seja de, no máximo, 0,01 com probabilidade de
b) Se na amostra final, com tamanho igual ao obtido em (a), observou-se que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema trata de estimar a proporção
de eleitores que apoiam o candidato de um partido antes das eleições. A gente vai usar amostragem para isso. Temos uma amostra piloto de 100 pessoas, onde 60% eram favoráveis. Vamos resolver duas partes:
a) Determinar o tamanho da amostra necessário para que o erro na estimativa seja, no máximo, 0,01 com uma probabilidade de 80%.
b) Com uma amostra final do tamanho obtido na parte a), onde 55% apoiam o candidato, construir um intervalo de confiança para
com um nível de confiança de 95%.
Passo 2
Primeiro, para a parte a), precisamos entender que queremos calcular o tamanho da amostra necessário para que a margem de erro (
) seja no máximo 0,01 (ou 1%) com uma determinada probabilidade (confiança) de 80%.
Passo 3
A fórmula para o tamanho da amostra
em estimativas de proporção é:
Onde:
-
é o valor crítico da distribuição normal correspondente ao nível de confiança desejado. -
é a proporção estimada. -
é a margem de erro.
Passo 4
Primeiro, vamos identificar os valores que já temos:
-
(60% da amostra piloto) -
(1% de erro)
Agora, precisamos encontrar o valor de
que corresponde a uma probabilidade de 80% de confiança.
Passo 5
Para uma confiança de 80%, a área nas duas caudas da distribuição normal é de 20%. Então, cada cauda tem 10%. Usamos tabelas de distribuição normal ou uma calculadora para encontrar o valor de
que deixa 10% na cauda superior.
O valor aproximado de
para 80% de confiança é 1,28.
Passo 6
Agora, substituímos os valores na fórmula:
Passo 7
Calculando passo a passo:
Então:
Passo 8
Como o tamanho da amostra não pode ser fracionário, arredondamos para cima. Portanto, precisamos de 3933 pessoas na amostra.
Resposta
a) O tamanho da amostra necessário é de 3.933 eleitores para garantir que o erro na estimação da proporção seja, no m��ximo, 0,01 com 80% de confiança.
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.
Se
e
são eventos mutuamente exclusivos tal que
e
, calcule:
b)
b)
Se
e
são eventos mutuamente exclusivos tal que
e
, calcule:
a)
a)
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