(Problema 20) Antes de uma eleição, um determinado partido está interessado em estimar a proporção p de eleitores favoráveis ao seu candidato. Uma amostra piloto de tamanho 100 revelou que 60 % dos eleitores eram favoráveis ao candidato em questão.
a) Determine o tamanho da amostra necessário para que o erro cometido na estimação seja de, no máximo, 0,01 com probabilidade de 80 %.
b) Se na amostra final, com tamanho igual ao obtido em (a), observou-se que 55 % dos eleitores eram favoráveis ao candidato em questão, construa um intervalo de confiança para a proporção p. Utilize gamma=0,95.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema trata de estimar a proporção de eleitores que apoiam o candidato de um partido antes das eleições. A gente vai usar amostragem para isso. Temos uma amostra piloto de 100 pessoas, onde 60% eram favoráveis. Vamos resolver duas partes:
a) Determinar o tamanho da amostra necessário para que o erro na estimativa seja, no máximo, 0,01 com uma probabilidade de 80%.
b) Com uma amostra final do tamanho obtido na parte a), onde 55% apoiam o candidato, construir um intervalo de confiança para com um nível de confiança de 95%.

Passo 2

Primeiro, para a parte a), precisamos entender que queremos calcular o tamanho da amostra necessário para que a margem de erro ( ) seja no máximo 0,01 (ou 1%) com uma determinada probabilidade (confiança) de 80%.

Passo 3

A fórmula para o tamanho da amostra n = ( Z^2 cdot p cdot (1 - p)E^2 ) em estimativas de proporção é:
Onde:
  • é o valor crítico da distribuição normal correspondente ao nível de confiança desejado.
  • é a proporção estimada.
  • é a margem de erro.

Passo 4

Primeiro, vamos identificar os valores que já temos:
  • (60% da amostra piloto)
  • (1% de erro)
Agora, precisamos encontrar o valor de que corresponde a uma probabilidade de 80% de confiança.

Passo 5

Para uma confiança de 80%, a área nas duas caudas da distribuição normal é de 20%. Então, cada cauda tem 10%. Usamos tabelas de distribuição normal ou uma calculadora para encontrar o valor de que deixa 10% na cauda superior.
O valor aproximado de para 80% de confiança é 1,28.

Passo 6

Agora, substituímos os valores na fórmula:
n = ( 1,28^2 cdot 0,60 cdot (1 - 0,60)0,01^2 )

Passo 7

Calculando passo a passo:
  1. n = 1,6384 times 0,240,0001 = 0,3932160,0001 = 3932,16
Então:

Passo 8

Como o tamanho da amostra não pode ser fracionário, arredondamos para cima. Portanto, precisamos de 3933 pessoas na amostra.

Resposta

a) O tamanho da amostra necessário é de 3.933 eleitores para garantir que o erro na estimação da proporção seja, no m��ximo, 0,01 com 80% de confiança.

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