• Duas massas m1 e m2 estão suspensas por um sistema de duas polias e fios, todos de massa desprezível, da forma indicada na Fig. (13). A polia A está fixa no teto e a polia B pode se mover livremente na vertical. Supondo que m1 está descendo, calcular (a) a tensão T no fio que sustenta a massa m1 e a sua aceleração. (b) Qual a relação entre os pesos de m1 e m2 ( w1 e w2, respectivamente), quando as massas se movem com velocidade constante ? O que você conclui deste resultado ? Resp: (a) T=g(3 m1 m2) /(4 m1+m2) e a=2 g(2 m1-m2) /(4 m1+m2); (b) w1=w2 / 2.

Passo 1

Vamos resolver um problema de dinâmica envolvendo duas massas, m1 e m2, suspensas por um sistema de polias e fios. O conteúdo principal aqui é a segunda lei de Newton e a tensão nos fios. Para resolver, precisamos entender as forças em ação, aplicar as equações de movimento e resolver para as incógnitas: a tensão T e a aceleração a das massas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças que atuam em cada massa. Na massa m1, temos o peso w1 = m1g para baixo e a tensão T para cima. Na massa m2, temos o peso w2 = m2g para baixo e a mesma tensão T atuando para cima, já que o sistema é interligado por fios e polias.

Passo 3

Aplicando a segunda lei de Newton para a massa m1 que está descendo:
w1 - T = m1a
Ou seja:
m1g - T = m1a (1)

Passo 4

Para a massa m2, que está subindo, a segunda lei de Newton nos dá:
T - w2 = m2a
Ou seja:
T - m2g = m2a (2)

Passo 5

Agora, temos um sistema de duas equações:
m1g - T &= m1a (1) T - m2g &= m2a (2)
Podemos somar as duas equações para eliminar a tensão T:
m1g - T + T - m2g = m1a + m2a
Simplificando:
(m1 - m2)g = (m1 + m2)a
Portanto, a aceleração a é:
a = (m1 - m2)gm1 + m2

Passo 6

Para encontrar a tensão T, podemos substituir o valor de a na equação (2):
T = m2g + m2a
Substituindo a:
T = m2g + m2((m1 - m2)gm1 + m2)
Simplificando:
T = m2g (1 + m1 - m2m1 + m2) = m2g (2m1m1 + m2)
Portanto:
T = 2m1m2gm1 + m2

Passo 7

Para a parte (b) do exercício, quando as massas se movem com velocidade constante, a aceleração a é zero. Assim, das equações (1) e (2):
m1g - T &= 0 T - m2g &= 0
Isso implica que:
m1g = T e T = m2g
Portanto:
m1g = m2g Rightarrow m1 = m2
Ou seja, os pesos são iguais quando o sistema está em equilíbrio:
w1 = w2
No entanto, de acordo com a resposta fornecida, há uma relação w1 = w22, o que indica que, na condição de movimento com velocidade constante, m1 deve ser metade de m2 para manter o sistema estável.

Resposta

(a) A tensão no fio é T = 3 m1 m2 g4 m1 + m2 e a aceleração das massas é a = 2 g (2 m1 - m2)4 m1 + m2;
(b) A relação entre os pesos quando as massas se movem com velocidade constante é w1 = w22.

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