Uma partícula se desloca em linha reta, com sua distância à origem é dada, em função do tempo, por: x(t)=4 t+6 t^2
b) A velocidade e aceleração médias e as médias das velocidades e das acelerações neste intervalo de tempo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que a posição de uma partícula em função do tempo é . O conteúdo envolvido aqui é Cinemática, especificamente o estudo de movimento retilíneo. Para resolver, vamos precisar entender como calcular velocidade média, aceleração média e as médias das velocidades e acelerações no intervalo de tempo considerado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade média ( vm = De) em um intervalo de tempo é dada pela variação da posição dividida pela variação do tempo:

Passo 3

Agora, a aceleração média ( am = De) é a variação da velocidade dividida pela variação do tempo:
v(t) = dxdt = ddt(4t + 6t^2) = 4 + 12t
Para encontrar , precisamos primeiro encontrar a expressão da velocidade instantânea, que é a derivada da posição em relação ao tempo:

Passo 4

Agora, vamos supor que estamos analisando o intervalo de tempo de vm = x(t2) - x(t1)t2 - t1 = [4t2 + 6t2^2] - [4t1 + 6t1^2]t2 - t1 a . Primeiro, calculamos a velocidade média:

Passo 5

Simplificando a expressão da velocidade média:
vm = 4(t2 - t1) + 6(t2^2 - t1^2)t2 - t1 = 4 + 6(t2 + t1)
Aqui, usamos a identidade .

Passo 6

Agora, vamos calcular a aceleração média. Primeiro, encontramos a velocidade nos instantes v(t1) = 4 + 12t1 e v(t2) = 4 + 12t2 :
am = v(t2) - v(t1)t2 - t1 = (4 + 12t2) - (4 + 12t1)t2 - t1 = 12(t2 - t1)t2 - t1 = 12
Então, a aceleração média é:

Resposta

A velocidade média no intervalo de tempo é e a aceleração média é . As médias das velocidades e das acelerações nesse intervalo são, respectivamente, e .

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