A equação horária de um móvel é:
b) A velocidade e aceleração médias e as médias das velocidades e das acelerações neste intervalo de tempo.
b) A velocidade e aceleração médias e as médias das velocidades e das acelerações neste intervalo de tempo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a equação horária de um móvel:
. Nosso objetivo aqui é calcular a velocidade média, a aceleração média e também as médias das velocidades e das acelerações nesse intervalo de tempo. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento dos objetos sem se preocupar com suas causas. Vamos precisar entender como derivar funções para encontrar velocidade e aceleração, além de saber como calcular médias dessas grandezas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é velocidade média. A velocidade média em um intervalo de tempo é dada pela variação da posição dividida pelo intervalo de tempo. Matematicamente, é:
Onde:
-
é a variação da posição. -
é o intervalo de tempo considerado.
Passo 3
Agora, vamos para a aceleração média. A aceleração média é a variação da velocidade dividida pelo intervalo de tempo. Assim:
Onde:
-
é a variação da velocidade. -
é o intervalo de tempo.
Passo 4
Para encontrar as variações necessárias, precisamos primeiro determinar as velocidades e acelerações instantâneas a partir da equação horária
. A velocidade instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo, e a aceleração instantânea é a derivada da velocidade.
Primeiro, vamos derivar
para encontrar a velocidade
:
Agora, vamos derivar
para encontrar a aceleração
:
Passo 5
Para calcular a média das velocidades no intervalo de tempo, precisamos integrar a função de velocidade e dividir pelo intervalo de tempo. A média das velocidades é dada por:
Fazendo a integração:
Passo 6
De maneira semelhante, para a média das acelerações, integramos a função de aceleração e dividimos pelo intervalo de tempo:
Resposta
Com isso, conseguimos expressar a velocidade média, a aceleração média, e as médias das velocidades e acelerações no intervalo de tempo considerado utilizando a equação horária fornecida. Para valores numéricos específicos, basta substituir
e
pelo intervalo de tempo desejado nas fórmulas acima.