A equação horária de um móvel é: x(t)=2 t+1,5 t^2+15 t^3
b) A velocidade e aceleração médias e as médias das velocidades e das acelerações neste intervalo de tempo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a equação horária de um móvel: . Nosso objetivo aqui é calcular a velocidade média, a aceleração média e também as médias das velocidades e das acelerações nesse intervalo de tempo. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento dos objetos sem se preocupar com suas causas. Vamos precisar entender como derivar funções para encontrar velocidade e aceleração, além de saber como calcular médias dessas grandezas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é velocidade média. A velocidade média em um intervalo de tempo é dada pela variação da posição dividida pelo intervalo de tempo. Matematicamente, é:
vmédia = Deé
Onde:
  • é a variação da posição.
  • é o intervalo de tempo considerado.

Passo 3

Agora, vamos para a aceleração média. A aceleração média é a variação da velocidade dividida pelo intervalo de tempo. Assim:
amédia = Deé
Onde:
  • é a variação da velocidade.
  • é o intervalo de tempo.

Passo 4

Para encontrar as variações necessárias, precisamos primeiro determinar as velocidades e acelerações instantâneas a partir da equação horária v(t) = dxdt = 2 + 3t + 45t^2 . A velocidade instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo, e a aceleração instantânea é a derivada da velocidade.
Primeiro, vamos derivar a(t) = dvdt = 3 + 90t para encontrar a velocidade :
Agora, vamos derivar para encontrar a aceleração :

Passo 5

Para calcular a média das velocidades no intervalo de tempo, precisamos integrar a função de velocidade e dividir pelo intervalo de tempo. A média das velocidades é dada por:
v = 1De
Fazendo a integração:
v = 1De

Passo 6

De maneira semelhante, para a média das acelerações, integramos a função de aceleração e dividimos pelo intervalo de tempo:
a = 1De

Resposta

Com isso, conseguimos expressar a velocidade média, a aceleração média, e as médias das velocidades e acelerações no intervalo de tempo considerado utilizando a equação horária fornecida. Para valores numéricos específicos, basta substituir e pelo intervalo de tempo desejado nas fórmulas acima.

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