Duas molas ideais, sem massa e de constantes de elasticidade
, sendo
acham-se penduradas no teto de uma sala. Em suas extremidades livres penduram-se massas idênticas. Observa-se que, quando os sistemas oscilam verticalmente, as massas atingem a mesma velocidade máxima. Indicando por
e
, as amplitudes dos movimentos e por
e
as energias mecânicas dos sistemas (1) e (2), respectivamente, podemos dizer que:
Figura 1
(a)
e
; (b)
e
; ©
e
;
(d)
e
; (e)
e
. (2,0). (Justifique sua resposta)
Figura 1
(a)
(d)
Passo 1
Vamos resumir o exercício para entender o que precisamos resolver. Temos duas molas ideais com constantes de elasticidade
e
, onde
. Ambas estão penduradas no teto e têm massas idênticas em suas extremidades livres. Quando os sistemas oscilam verticalmente, as massas atingem a mesma velocidade máxima. Precisamos comparar as amplitudes dos movimentos (
e
) e as energias mecânicas (
e
) dos dois sistemas para determinar qual das alternativas (a) a (e) está correta.
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de física sobre oscilações harmônicas simples, relacionando velocidade máxima, amplitude e energia mecânica.
Passo 2
Primeiramente, vamos lembrar que em uma oscilação harmônica simples, a velocidade máxima
de um objeto é dada por:
Onde:
-
é a amplitude do movimento. -
é a frequência angular, que está relacionada à constante da mola e à massa pela fórmula:
Como as massas são idênticas e a velocidade máxima é a mesma para ambos os sistemas, podemos igualar as expressões:
Passo 3
Simplificando a equação acima, percebemos que a massa
se cancela:
Como
, então
. Para que a igualdade seja mantida, necessariamente
deve ser maior que
:
Passo 4
Agora, vamos analisar as energias mecânicas dos sistemas. A energia mecânica total em uma oscilação harmônica simples é a soma da energia potencial elástica e da energia cinética. No ponto de máxima amplitude, toda a energia é potencial:
Portanto, para os sistemas 1 e 2:
Passo 5
Substituindo a relação entre
e
que encontramos anteriormente:
Sabemos que
, então:
Isso mostra que
.
Resposta
(a)
e