Duas molas ideais, sem massa e de constantes de elasticidade k1 e k2, sendo k1 acham-se penduradas no teto de uma sala. Em suas extremidades livres penduram-se massas idênticas. Observa-se que, quando os sistemas oscilam verticalmente, as massas atingem a mesma velocidade máxima. Indicando por A1 e A2, as amplitudes dos movimentos e por E1 e E2 as energias mecânicas dos sistemas (1) e (2), respectivamente, podemos dizer que:
Figura 1
(a) A1>A2 e E1=E2; (b) A1>A2 e E1=E2; © A1>A2 e E1>E2;
(d) A1>A2 e E1>E2; (e) A1=A2 e E1>E2. (2,0). (Justifique sua resposta)

Passo 1

Vamos resumir o exercício para entender o que precisamos resolver. Temos duas molas ideais com constantes de elasticidade e , onde . Ambas estão penduradas no teto e têm massas idênticas em suas extremidades livres. Quando os sistemas oscilam verticalmente, as massas atingem a mesma velocidade máxima. Precisamos comparar as amplitudes dos movimentos ( e ) e as energias mecânicas ( e ) dos dois sistemas para determinar qual das alternativas (a) a (e) está correta.
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de física sobre oscilações harmônicas simples, relacionando velocidade máxima, amplitude e energia mecânica.

Passo 2

Primeiramente, vamos lembrar que em uma oscilação harmônica simples, a velocidade máxima vmax = A omega de um objeto é dada por:
omega = raizkm
Onde:
  • A1 raizk1m = A2 raizk2m é a amplitude do movimento.
  • é a frequência angular, que está relacionada à constante da mola e à massa pela fórmula:
Como as massas são idênticas e a velocidade máxima é a mesma para ambos os sistemas, podemos igualar as expressões:

Passo 3

Simplificando a equação acima, percebemos que a massa A1 raizk1 = A2 raizk2 se cancela:
A1 > A2
Como , então . Para que a igualdade seja mantida, necessariamente deve ser maior que :

Passo 4

Agora, vamos analisar as energias mecânicas dos sistemas. A energia mecânica total em uma oscilação harmônica simples é a soma da energia potencial elástica e da energia cinética. No ponto de máxima amplitude, toda a energia é potencial:
E = 12 k A^2
Portanto, para os sistemas 1 e 2:
E1 = 12 k1 A1^2
E2 = 12 k2 A2^2

Passo 5

Substituindo a relação entre E1 = 12 k1 ( A2 raizk2k1 )^2 = 12 k1 A2^2 k2k1 = 12 k2 A2^2 = E2 e que encontramos anteriormente:
Sabemos que , então:
Isso mostra que .

Resposta

(a) e

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