Duas ondas y1 e y2, em um dado meio elástico, se propagam em direções opostas e produzem uma onda estacionária. As funções de ondas individuais são:
l y1=4,0 sen(3,0 x-2,0 t) y2=4,0 sen(3,0 x+2,0 t)
Determine: (a) a amplitude do movimento harmônico simples do elemento do meio elástico localizado em x=2,3 cm; (b) o comprimento de onda das ondas se propagando; © as posições dos três primeiros nós e antinós. Observação: sen(alpha)+sen(beta)=2 sen[(alpha+beta) / 2] cos [(alpha-beta) / 2]

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos duas ondas, e , que se propagam em direções opostas e formam uma onda estacionária. O enunciado pede para a gente encontrar três coisas: a amplitude do movimento no ponto cm, o comprimento de onda das ondas e as posições dos três primeiros nós e antinós. Para resolver isso, vamos usar um pouco de trigonometria e entender como as ondas interagem para formar a onda estacionária.

Passo 2

Primeiro, vamos somar as duas funções de onda para encontrar a equação da onda estacionária. As ondas dadas são:
l y1 = 4,0 sin(3,0 x - 2,0 t) y2 = 4,0 sin(3,0 x + 2,0 t)
Usando a identidade trigonométrica fornecida:
sin(alpha) + sin(beta) = 2 sin(alpha + beta2) cos(alpha - beta2)
Vamos identificar alpha = 3,0 x - 2,0 t beta = 3,0 x + 2,0 t e :

Passo 3

Aplicando a identidade:
y = y1 + y2 = 4,0 sin(alpha) + 4,0 sin(beta) = 2 times 4,0 [ sin(alpha + beta2) cos(alpha - beta2) ]
Simplificando:
y = 8,0 sin((3,0 x - 2,0 t) + (3,0 x + 2,0 t)2) cos((3,0 x - 2,0 t) - (3,0 x + 2,0 t)2)

Passo 4

Calculando os argumentos das funções seno e cosseno:
Para o seno:
alpha + beta2 = 6,0 x2 = 3,0 x
Para o cosseno:
alpha - beta2 = -4,0 t2 = -2,0 t
Como o cosseno é uma função par, y = 8,0 sin(3,0 x) cos(2,0 t) , então:

Passo 5

Agora, temos a equação da onda estacionária:
y(x,t) = 8,0 sin(3,0 x) cos(2,0 t)
A amplitude do movimento harmônico simples em qualquer ponto é dada por .

Passo 6

Vamos para a parte (a): encontrar a amplitude no ponto A(2,3) = 8,0 sin(3,0 times 2,3) cm.
Substituindo 3,0 times 2,3 = 6,9 radianos cm na equação da amplitude:
A(2,3) = 8,0 sin(6,9)
Calculando o argumento:
sin(6,9) approx 0,601
Então:
A(2,3) approx 8,0 times 0,601 approx 4,81 unidades de amplitude
Usando uma calculadora:
Portanto:

Passo 7

Parte (b): determinar o comprimento de onda das ondas.
Sabemos que o termo lambda = 2pik = 2pi3,0 approx 2,094 cm na função seno está relacionado ao número de onda , onde .
Dado que , podemos encontrar :

Passo 8

Parte ©: encontrar as posições dos três primeiros nós e antinós.
Em uma onda estacionária:
  • Nós são os pontos onde 3,0 x = npi implies x = npi3,0 .
  • Antinós são os pontos onde x0 = 0 cm x1 = pi3,0 approx 1,047 cm x2 = 2pi3,0 approx 2,094 cm .
Vamos resolver 3,0 x = pi2 + npi implies x = pi6,0 + npi3,0 :
xa1 = pi6,0 approx 0,524 cm xa2 = pi6,0 + pi3,0 = pi2 approx 1,571 cm xa3 = pi6,0 + 2pi3,0 = 5pi6,0 approx 2,618 cm
Para os três primeiros nós (n = 0, 1, 2):
Para os antinós, onde :
Para os três primeiros antinós (n = 0, 1, 2):

Resposta

(a) A amplitude no ponto cm é aproximadamente 4,81 unidades de amplitude.
(b) O comprimento de onda das ondas é aproximadamente 2,094 cm.
© As posições dos três primeiros nós são 0 cm, 1,047 cm e 2,094 cm. As posições dos três primeiros antinós são 0,524 cm, 1,571 cm e 2,618 cm.

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