Duas ondas
e
, em um dado meio elástico, se propagam em direções opostas e produzem uma onda estacionária. As funções de ondas individuais são:
Determine: (a) a amplitude do movimento harmônico simples do elemento do meio elástico localizado em
; (b) o comprimento de onda das ondas se propagando; © as posições dos três primeiros nós e antinós. Observação:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos duas ondas,
e
, que se propagam em direções opostas e formam uma onda estacionária. O enunciado pede para a gente encontrar três coisas: a amplitude do movimento no ponto
cm, o comprimento de onda das ondas e as posições dos três primeiros nós e antinós. Para resolver isso, vamos usar um pouco de trigonometria e entender como as ondas interagem para formar a onda estacionária.
Passo 2
Primeiro, vamos somar as duas funções de onda para encontrar a equação da onda estacionária. As ondas dadas são:
Usando a identidade trigonométrica fornecida:
Vamos identificar
e
:
Passo 3
Aplicando a identidade:
Simplificando:
Passo 4
Calculando os argumentos das funções seno e cosseno:
Para o seno:
Para o cosseno:
Como o cosseno é uma função par,
, então:
Passo 5
Agora, temos a equação da onda estacionária:
A amplitude do movimento harmônico simples em qualquer ponto
é dada por
.
Passo 6
Vamos para a parte (a): encontrar a amplitude no ponto
cm.
Substituindo
cm na equação da amplitude:
Calculando o argumento:
Então:
Usando uma calculadora:
Portanto:
Passo 7
Parte (b): determinar o comprimento de onda das ondas.
Sabemos que o termo
na função seno está relacionado ao número de onda
, onde
.
Dado que
, podemos encontrar
:
Passo 8
Parte ©: encontrar as posições dos três primeiros nós e antinós.
Em uma onda estacionária:
- Nós são os pontos onde
. - Antinós são os pontos onde
.
Vamos resolver
:
Para os três primeiros nós (n = 0, 1, 2):
Para os antinós, onde
:
Para os três primeiros antinós (n = 0, 1, 2):
Resposta
(a) A amplitude no ponto
cm é aproximadamente 4,81 unidades de amplitude.
(b) O comprimento de onda das ondas é aproximadamente 2,094 cm.
© As posições dos três primeiros nós são 0 cm, 1,047 cm e 2,094 cm. As posições dos três primeiros antinós são 0,524 cm, 1,571 cm e 2,618 cm.
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