Duas ondas propagando-se em sentidos opostos produzem uma onda estacionária. As funções de onda individuais são: y(x, t)= (4,0 cm) sen(3,0 x-2,0 t) e y(x, t)=(4,0 cm) sen(3,0 x+2,0 t), onde x e y estão em centímetros. (a) Encontre o deslocamento máximo de uma partícula do meio em x=2,3 cm. (b) Encontre as posições dos nós e dos antinós.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre ondas estacionárias! �波 Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido:
Enunciado Resumido:
Temos duas ondas que se movem em sentidos opostos e formam uma onda estacionária. As funções dessas ondas são:
y1(x, t) = 4,0,cm cdot sin(3,0,x - 2,0,t)
y2(x, t) = 4,0,cm cdot sin(3,0,x + 2,0,t)
Precisamos resolver duas partes:
a) Encontrar o deslocamento máximo de uma partícula no ponto .
b) Encontrar as posições dos nós e dos antinós na onda estacionária.
Para isso, vamos usar conceitos de superposição de ondas e propriedades das ondas estacionárias.

Passo 2

Vamos começar combinando as duas ondas para obter a equação da onda estacionária. Quando duas ondas de mesma amplitude e frequência se propagam em sentidos opostos, a onda resultante é uma onda estacionária.
Usando a fórmula de soma de senos:
sin(A) + sin(B) = 2 sin(A + B2) cos(A - B2)
Aplicando isso às nossas ondas:
y(x, t) = y1 + y2 = 4,0,cm cdot sin(3,0,x - 2,0,t) + 4,0,cm cdot sin(3,0,x + 2,0,t)
y(x, t) = 2 cdot 4,0,cm cdot sin(3,0,x) cos(2,0,t)
y(x, t) = 8,0,cm cdot sin(3,0,x) cos(2,0,t)
Essa é a equação da onda estacionária resultante.

Passo 3

Parte a: Deslocamento Máximo em ymáx(x) = 8,0,cm cdot sin(3,0,x)
O deslocamento máximo de uma partícula ocorre quando ymáx(2,3) = 8,0,cm cdot sin(3,0 times 2,3) , ou seja, quando o seno atinge seu valor máximo.
A expressão para o deslocamento máximo ymáx(2,3) = 8,0,cm cdot sin(6,9) á em uma posição sin(6,9) approx 0,554 é:
ymáx(2,3) approx 8,0,cm times 0,554 á
Agora, vamos calcular para ymáx(2,3) approx 4,43,cm :
á
á
Antes de calcular, precisamos garantir que o ângulo está em radianos. Supondo que esteja em centímetros e , então .
Calculando:
á
á

Passo 4

Parte b: Posições dos Nós e Antinós
Em uma onda estacionária:
  • Nós são pontos onde não há movimento, ou seja, o deslocamento é sempre zero. Isso ocorre quando sin(3,0,x) = 0 .
  • Antinós são pontos onde o deslocamento atinge seu valor máximo, ou seja, 3,0,x = npi onde n é inteiro .
Encontrando os Nós:
x = npi3,0
xn = npi3 cm é
sin(3,0,x) = pm 1
Então, as posições dos nós são:
3,0,x = (n + 12)pi
Para x = (n + 12)pi3,0
Encontrando os Antinós:
xa = (n + 12)pi3 cm
Então, as posições dos antinós são:
Para

Resposta

a) O deslocamento máximo da partícula em é aproximadamente 4{,}43 cm.
b) As posições dos nós são dadas por cm e as dos antinós por cm, onde é um número inteiro (0, 1, 2, 3, …).

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