Duas ondas propagando-se em sentidos opostos produzem uma onda estacionária. As funções de onda individuais são: e , onde e estão em centímetros. (a) Encontre o deslocamento máximo de uma partícula do meio em . (b) Encontre as posições dos nós e dos antinós.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre ondas estacionárias! �波 Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido:
Enunciado Resumido:
Temos duas ondas que se movem em sentidos opostos e formam uma onda estacionária. As funções dessas ondas são:
Precisamos resolver duas partes:
a) Encontrar o deslocamento máximo de uma partícula no ponto .
b) Encontrar as posições dos nós e dos antinós na onda estacionária.
Para isso, vamos usar conceitos de superposição de ondas e propriedades das ondas estacionárias.

Passo 2

Vamos começar combinando as duas ondas para obter a equação da onda estacionária. Quando duas ondas de mesma amplitude e frequência se propagam em sentidos opostos, a onda resultante é uma onda estacionária.
Usando a fórmula de soma de senos:
Aplicando isso às nossas ondas:
Essa é a equação da onda estacionária resultante.

Passo 3

Parte a: Deslocamento Máximo em
O deslocamento máximo de uma partícula ocorre quando , ou seja, quando o seno atinge seu valor máximo.
A expressão para o deslocamento máximo á em uma posição é:
á
Agora, vamos calcular para :
á
á
Antes de calcular, precisamos garantir que o ângulo está em radianos. Supondo que esteja em centímetros e , então .
Calculando:
á
á

Passo 4

Parte b: Posições dos Nós e Antinós
Em uma onda estacionária:
  • Nós são pontos onde não há movimento, ou seja, o deslocamento é sempre zero. Isso ocorre quando .
  • Antinós são pontos onde o deslocamento atinge seu valor máximo, ou seja, .
Encontrando os Nós:
é
Então, as posições dos nós são:
Para
Encontrando os Antinós:
Então, as posições dos antinós são:
Para

Resposta

a) O deslocamento máximo da partícula em é aproximadamente 4{,}43 cm.
b) As posições dos nós são dadas por cm e as dos antinós por cm, onde é um número inteiro (0, 1, 2, 3, …).

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