Duas partículas, cujas massas de repouso são, respectivamente, m1 e m2 movem-se ao longo de uma linha reta com velocidades u1 e u2, medidas na mesma direção. As partículas colidem inelasticamente, coalescendo para formar uma única partícula. Mostre que a velocidade e a massa de repouso da nova partícula são dadas, respectivamente por u3 e m3, com:
u3=m1 gamma1 u1+m2 gamma2 u2m1 gamma1+m2 gamma2, e m3^2=m1^2+m2^2+2 m1 m2 gamma1 gamma2(1-u1 u2 / c^2)
com gamma1=(1-u1^2 / c^2)^-1 / 2 e gamma2=(1-u2^2 / c^2)^-1 / 2.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas partículas com massas de repouso e que estão se movendo em uma linha reta com velocidades e , ambas na mesma direção. Quando essas partículas colidem de forma inelástica, elas se juntam formando uma única partícula. Precisamos mostrar como calcular a velocidade final e a massa de repouso dessa nova partícula. Para isso, vamos usar os conceitos de relatividade restrita, especificamente a conservação do momento relativístico e a relação entre massa e energia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em colisões inelásticas, o momento total do sistema é conservado. No contexto da relatividade, o momento relativístico de uma partícula é dado por:
p = m gamma u
onde é o fator de Lorentz, e é a velocidade da luz.

Passo 3

Aplicando a conservação do momento para as duas partículas antes e depois da colisão, temos:
m1 gamma1 u1 + m2 gamma2 u2 = m3 gamma3 u3
Aqui, e são os fatores de Lorentz para as partículas 1 e 2, respectivamente, e é o fator para a nova partícula após a colisão.

Passo 4

Além disso, também sabemos que a energia total do sistema é conservada. A energia relativística de uma partícula é dada por:
E = m gamma c^2
Então, a energia total antes da colisão é:
Etotal = m1 gamma1 c^2 + m2 gamma2 c^2
E a energia após a colisão é:
Etotal = m3 gamma3 c^2

Passo 5

Igualando as energias antes e depois da colisão:
m1 gamma1 c^2 + m2 gamma2 c^2 = m3 gamma3 c^2
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por m1 gamma1 + m2 gamma2 = m3 gamma3 :

Passo 6

Agora, temos duas equações:
  1. m1 gamma1 u1 + m2 gamma2 u2m1 gamma1 + m2 gamma2 = u3
  2. u3 = m1 gamma1 u1 + m2 gamma2 u2m1 gamma1 + m2 gamma2
Queremos encontrar e . Para isso, podemos dividir a primeira equação pela segunda:
Portanto, a velocidade final é:

Passo 7

Para encontrar m3 = m1 gamma1 + m2 gamma2 , usamos a segunda equação:
m3^2 = m1^2 + m2^2 + 2 m1 m2 gamma1 gamma2 (1 - u1 u2c^2)
Mas precisamos considerar que a massa de repouso também está relacionada com a energia total após a colisão. Utilizando a relação de energia e momento, podemos derivar:
Isso leva à expressão final para a massa de repouso da nova partícula formada na colisão.

Resposta

Assim, a velocidade e a massa de repouso da nova partícula são dadas por:
u3 = m1 gamma1 u1 + m2 gamma2 u2m1 gamma1 + m2 gamma2
e
m3^2 = m1^2 + m2^2 + 2 m1 m2 gamma1 gamma2 (1 - u1 u2c^2)

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