Duas partículas, cujas massas de repouso são, respectivamente,
e
movem-se ao longo de uma linha reta com velocidades
e
, medidas na mesma direção. As partículas colidem inelasticamente, coalescendo para formar uma única partícula. Mostre que a velocidade e a massa de repouso da nova partícula são dadas, respectivamente por
e
, com:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas partículas com massas de repouso
e
que estão se movendo em uma linha reta com velocidades
e
, ambas na mesma direção. Quando essas partículas colidem de forma inelástica, elas se juntam formando uma única partícula. Precisamos mostrar como calcular a velocidade final
e a massa de repouso
dessa nova partícula. Para isso, vamos usar os conceitos de relatividade restrita, especificamente a conservação do momento relativístico e a relação entre massa e energia.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em colisões inelásticas, o momento total do sistema é conservado. No contexto da relatividade, o momento relativístico de uma partícula é dado por:
onde
é o fator de Lorentz, e
é a velocidade da luz.
Passo 3
Aplicando a conservação do momento para as duas partículas antes e depois da colisão, temos:
Aqui,
e
são os fatores de Lorentz para as partículas 1 e 2, respectivamente, e
é o fator para a nova partícula após a colisão.
Passo 4
Além disso, também sabemos que a energia total do sistema é conservada. A energia relativística de uma partícula é dada por:
Então, a energia total antes da colisão é:
E a energia após a colisão é:
Passo 5
Igualando as energias antes e depois da colisão:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
:
Passo 6
Agora, temos duas equações:
Queremos encontrar
e
. Para isso, podemos dividir a primeira equação pela segunda:
Portanto, a velocidade final
é:
Passo 7
Para encontrar
, usamos a segunda equação:
Mas precisamos considerar que a massa de repouso
também está relacionada com a energia total após a colisão. Utilizando a relação de energia e momento, podemos derivar:
Isso leva à expressão final para a massa de repouso da nova partícula formada na colisão.
Resposta
Assim, a velocidade e a massa de repouso da nova partícula são dadas por:
e
Exercícios relacionados
Uma partícula de massa de repouso
e com velocidade
colide com uma partícula estacionária de massa de repouso
. Após a colisão, as duas partículas coalescem. Mostre que a massa de repouso
e a velocidade
da partícula composta formada como resultado da colisão são, respectivamente:
Uma partícula instável de massa de repouso
e momento relativístico
decai (em vôo) em duas partículas de massas de repouso
e
, momentos relativísticos
e
, e energias totais
e
, respectivamente. Mostre que:
onde
é o ângulo entre as trajetórias das duas partículas-produto.
Determine a velocidade escalar do bloco
quando a extremidade da corda é puxada para baixo com uma velocidade de
.
Resposta:
Resposta:
Se a extremidade
da corda se move para baixo com uma velocidade escalar de
, determine a velocidade escalar com que o cilindro
sobe.
Resposta
Resposta