Uma partícula de massa de repouso
e com velocidade
colide com uma partícula estacionária de massa de repouso
. Após a colisão, as duas partículas coalescem. Mostre que a massa de repouso
e a velocidade
da partícula composta formada como resultado da colisão são, respectivamente:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas partículas que colidem. A primeira tem massa de repouso
e está se movendo com velocidade
. A segunda está parada e tem massa de repouso
. Depois da colisão, as duas partículas ficam juntas formando uma única partícula com massa de repouso
e velocidade
.
O conteúdo que vamos precisar aqui é da Relatividade Restrita, especificamente conservação da quantidade de movimento e conservação da energia. Também vamos usar a fator de Lorentz, que aparece quando lidamos com velocidades próximas à da luz.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as quantidades antes e depois da colisão.
Antes da colisão:
- Partícula 1:
- Massa de repouso:
- Velocidade:
- Fator de Lorentz:
- Quantidade de movimento:
- Energia total:
- Massa de repouso:
- Partícula 2:
- Massa de repouso:
- Velocidade: 0
- Quantidade de movimento:
- Energia total:
- Massa de repouso:
Depois da colisão:
- Partícula composta:
- Massa de repouso:
- Velocidade:
- Fator de Lorentz:
- Quantidade de movimento:
- Energia total:
- Massa de repouso:
Passo 3
Vamos aplicar a conservação da quantidade de movimento. Isso significa que a quantidade de movimento total antes da colisão é igual à quantidade de movimento total depois da colisão.
Matematicamente:
Substituindo:
Ou seja:
Passo 4
Agora, aplicamos a conservação da energia total. A energia total antes da colisão é igual à energia total depois.
Matematicamente:
Substituindo:
Dividindo todos os termos por
:
Passo 5
Temos duas equações agora: (1) e (2). Vamos resolver esse sistema para encontrar
e
.
Primeiro, da equação (2):
Substituindo na equação (1):
Simplificando:
Isolando
:
Substituindo
:
Agora, para encontrar
, usamos a equação (2) novamente:
Sabemos que
, mas para simplificar, vamos elevar ao quadrado ambos os lados depois de expressar
em termos de
e
. Após alguns passos de álgebra (que detalharíamos em uma aula mais aprofundada), chegamos à expressão para
:
Resposta
As massas de repouso
e a velocidade
da partícula composta são, respectivamente:
e
Exercícios relacionados
Uma partícula instável de massa de repouso
e momento relativístico
decai (em vôo) em duas partículas de massas de repouso
e
, momentos relativísticos
e
, e energias totais
e
, respectivamente. Mostre que:
onde
é o ângulo entre as trajetórias das duas partículas-produto.
Uma partícula de massa de repouso
e energia cinética
colide com uma partícula estacionária, de massa de repouso
. Se a partícula
sofre um espalhamento de
e tem momento relativístico
após a colisão, mostre que, após a colisão, a partícula
tem momento relativístico
, e faz um ângulo
com a direção da partícula incidente, tal que
.
Duas partículas, cujas massas de repouso são, respectivamente,
e
movem-se ao longo de uma linha reta com velocidades
e
, medidas na mesma direção. As partículas colidem inelasticamente, coalescendo para formar uma única partícula. Mostre que a velocidade e a massa de repouso da nova partícula são dadas, respectivamente por
e
, com:
Determine a velocidade escalar do bloco
quando a extremidade da corda é puxada para baixo com uma velocidade de
.
Resposta:
Resposta: