Uma partícula instável de massa de repouso
e momento relativístico
decai (em vôo) em duas partículas de massas de repouso
e
, momentos relativísticos
e
, e energias totais
e
, respectivamente. Mostre que:
onde
é o ângulo entre as trajetórias das duas partículas-produto.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula instável com massa de repouso
e momento relativístico
que decai em duas partículas com massas de repouso
e
, momentos
e
, e energias totais
e
. A matéria que vamos usar aqui é a relatividade especial, especificamente as leis de conservação de energia e de momentum. Vamos precisar das fórmulas de energia total e momentum relativístico para resolver essa questão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que na relatividade, a energia total
de uma partícula é dada por:
onde
é o momentum e
é a massa de repouso.
Passo 3
Como a partícula original decai em duas, a conservação do momentum nos diz que o momentum total antes da decaimento é igual ao momentum total depois. Ou seja:
Isso significa que, se representarmos os momentos como vetores, eles devem somar para o momentum inicial.
Passo 4
Também temos a conservação de energia, que nos diz que a energia total antes da decaimento é igual à soma das energias das partículas resultantes:
Aqui,
é a energia total da partícula original antes do decaimento.
Passo 5
Agora, vamos elevar ao quadrado a equação da energia total. Sabemos que:
E também, da relação
, temos:
Passo 6
Substituindo essas expressões na equação da energia total, temos:
Passo 7
Reorganizando os termos, ficamos com:
onde
é o ângulo entre as trajetórias das duas partículas após o decaimento.
Resposta
Portanto, demonstramos que: