Uma partícula instável de massa de repouso M0 e momento relativístico p0 decai (em vôo) em duas partículas de massas de repouso M1 e M2, momentos relativísticos p1 e p2, e energias totais E1 e E2, respectivamente. Mostre que:
M0^2 c^4=(M1+M2)^2 c^4+2 E1 E2-2 M1 M2 c^4-2 p1 p2 c^2 cos theta
onde theta é o ângulo entre as trajetórias das duas partículas-produto.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula instável com massa de repouso e momento relativístico que decai em duas partículas com massas de repouso e , momentos e , e energias totais e . A matéria que vamos usar aqui é a relatividade especial, especificamente as leis de conservação de energia e de momentum. Vamos precisar das fórmulas de energia total e momentum relativístico para resolver essa questão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que na relatividade, a energia total E = raiz(pc)^2 + (M c^2)^2 de uma partícula é dada por:
onde é o momentum e é a massa de repouso.

Passo 3

Como a partícula original decai em duas, a conservação do momentum nos diz que o momentum total antes da decaimento é igual ao momentum total depois. Ou seja:
p0 = p1 + p2
Isso significa que, se representarmos os momentos como vetores, eles devem somar para o momentum inicial.

Passo 4

Também temos a conservação de energia, que nos diz que a energia total antes da decaimento é igual à soma das energias das partículas resultantes:
E0 = E1 + E2
Aqui, é a energia total da partícula original antes do decaimento.

Passo 5

Agora, vamos elevar ao quadrado a equação da energia total. Sabemos que:
E0^2 = (E1 + E2)^2 = E1^2 + E2^2 + 2 E1 E2
E também, da relação E0^2 = (p0 c)^2 + (M0 c^2)^2 , temos:
E1^2 = (p1 c)^2 + (M1 c^2)^2
E2^2 = (p2 c)^2 + (M2 c^2)^2

Passo 6

Substituindo essas expressões na equação da energia total, temos:
(p0 c)^2 + (M0 c^2)^2 = (p1 c)^2 + (M1 c^2)^2 + (p2 c)^2 + (M2 c^2)^2 + 2 E1 E2

Passo 7

Reorganizando os termos, ficamos com:
(M0 c^2)^2 = (M1 c^2 + M2 c^2)^2 + 2 E1 E2 - 2 p1 p2 c^2 cos theta
onde é o ângulo entre as trajetórias das duas partículas após o decaimento.

Resposta

Portanto, demonstramos que:
M0^2 c^4 = (M1 + M2)^2 c^4 + 2 E1 E2 - 2 M1 M2 c^4 - 2 p1 p2 c^2 cos theta

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