Suponha agora que no instante t=0 o elevador está parado no mesmo nível do observador estacionário e inicia o seu movimento de subida com aceleração de 2,0 m / s^2. Após 3,0 s a lâmpada se desprende do teto. Determine o tempo que a lâmpada leva para atingir o piso: (a) relativamente ao observador estacionário no piso; (b) relativamente ao observador dentro do elevador.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um elevador que começa a subir com uma aceleração de 2,0 , m/s^2 no instante t = 0. Depois de 3,0 , s, uma lâmpada se desprende do teto do elevador. Precisamos descobrir quanto tempo a lâmpada leva para atingir o piso, tanto para um observador que está parado no chão quanto para alguém dentro do elevador.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de movimento com aceleração constante e entender como a gravidade afeta a lâmpada quando ela se solta do elevador.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como o elevador está se movendo até o momento em que a lâmpada se desprende. O elevador está acelerando para cima com a = 2,0 , m/s^2. Queremos saber a velocidade e a posição do elevador após t = 3,0 , s.
A fórmula para a velocidade final com aceleração constante é:
v = v0 + a t
Como o elevador parte do repouso, v0 = 0, então:
v = 0 + (2,0 , m/s^2)(3,0 , s) = 6,0 , m/s

Passo 3

Agora, vamos calcular a posição do elevador após esses 3 segundos. A fórmula para a posição com aceleração constante é:
s = s0 + v0 t + 12 a t^2
Novamente, s0 = 0 e v0 = 0, então:
s = 0 + 0 + 12 (2,0 , m/s^2)(3,0 , s)^2 = 12 times 2 times 9 = 9,0 , m
Isso significa que o elevador está 9 metros acima do ponto de partida quando a lâmpada se solta.

Passo 4

No momento em que a lâmpada se desprende, ela já tem a mesma velocidade do elevador, que é 6,0 , m/s para cima. Agora, a lâmpada começa a cair sob a influência da gravidade. Para o observador no chão, a lâmpada está deixando o elevador com uma velocidade inicial para cima e depois desacelerando por causa da gravidade ( g = 9,8 , m/s^2).
Vamos usar a equação do movimento para determinar o tempo que a lâmpada leva para atingir o chão:
s = v0 t + 12 a t^2
Aqui, s = -9,0 , m (porque a lâmpada desce 9 metros até o chão), v0 = 6,0 , m/s, e a = -9,8 , m/s^2 (aceleração da gravidade).
Substituindo:
-9 = 6t - 12 times 9,8 times t^2
-9 = 6t - 4,9 t^2
4,9 t^2 - 6t - 9 = 0

Passo 5

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar o tempo t. A equação é:
4,9 t^2 - 6t - 9 = 0
Usamos a fórmula de Bhaskara:
t = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde:
a = 4,9; b = -6; c = -9
Calculando o discriminante:
De
Então:
t = 6 pm raiz212,49,8
Calculando a raiz:
raiz212,4 approx 14,57
Portanto, temos duas soluções:
t = 6 + 14,579,8 approx 20,579,8 approx 2,10 , s
t = 6 - 14,579,8 approx -8,579,8 approx -0,875 , s
Como tempo não pode ser negativo, descartamos a segunda solução.

Passo 6

Então, para o observador estacionário no chão, a lâmpada leva aproximadamente 2,10 , s para atingir o piso após se desprender do teto do elevador.

Passo 7

Agora, vamos considerar o que o observador dentro do elevador vê. Para alguém dentro do elevador, que está acelerando para cima, parece que a gravidade efetiva é maior. Isso porque o elevador está acelerando na mesma direção da gravidade.
A gravidade efetiva ( g') para o observador no elevador é:
g' = g + a = 9,8 , m/s^2 + 2,0 , m/s^2 = 11,8 , m/s^2
Aqui, g é a aceleração devido à gravidade e a é a aceleração do elevador.

Passo 8

Usando essa gravidade efetiva, vamos calcular o tempo que a lâmpada leva para descer 9 metros no referencial do elevador. A equação do movimento é:
s = 12 g' t^2
Onde s = 9,0 , m (desce 9 metros), e g' = 11,8 , m/s^2.
Rearranjando para encontrar t:
t = raiz2sg' = raiz2 times 9,011,8 approx raiz1811,8 approx raiz1,53 approx 1,24 , s

Resposta

(a) Para o observador estacionário no piso, a lâmpada leva aproximadamente 2,10 , segundos para atingir o chão.
(b) Para o observador dentro do elevador, a lâmpada leva aproximadamente 1,24 , segundos para chegar ao piso.

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