Duas partículas idênticas, cada uma com uma carga
estão fixas no espaço e separadas por uma distância d. Uma terceira partícula com carga
está livre para se mover e, inicialmente, em repouso no bissetor perpendicular das duas cargas fixas a uma distância
do ponto central entre elas. a) Demonstre que, se
é pequeno comparado com
, o movimento de
é harmônico simples ao longo do bissetor perpendicular. b) Determine o período do movimento c) O quão rápido a carga
se deslocará quando estiver no ponto central entre as duas cargas fixas se, inicialmente for solta a uma distância
do ponto central?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é analisar o movimento de uma carga
que está interagindo com duas cargas fixas
separadas por uma distância
. A matéria que vamos usar aqui é Eletrostática e Movimentos Harmônicos Simples. Precisamos entender as forças envolvidas e como elas afetam a carga
quando ela se move ao longo do bissetor perpendicular das duas cargas fixas.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a situação. Temos duas cargas positivas
fixas separadas por uma distância
. A carga
está colocada no ponto médio, mas deslocada uma distância
ao longo da linha que é perpendicular à linha que une as duas cargas fixas. Esse ponto é o bissetor perpendicular.
Passo 3
Quando a carga
se move para esse ponto, ela vai sentir a força de atração de ambas as cargas
. Como as cargas
são iguais e estão simetricamente posicionadas, as componentes horizontais das forças se cancelam, e só sobra a componente vertical que vai puxar ou empurrar a carga
de volta em direção ao ponto central.
Passo 4
Agora, para mostrar que esse movimento é harmônico simples quando
é pequeno comparado com
, precisamos relacionar a força restauradora com o deslocamento
. A Lei de Coulomb nos diz que a força entre duas cargas é:
Onde
é a constante eletrostática,
e
são as cargas, e
é a distância entre elas.
Passo 5
No nosso caso, a força total sobre
será a soma das forças vindas de cada uma das duas cargas
. Como
é pequeno, podemos usar a aproximação de que
, e expandir a expressão para a força em série de Taylor, mantendo apenas os termos lineares em
.
Passo 6
Após simplificar, encontramos que a força restauradora
é proporcional a
, ou seja:
Isso é exatamente a condição para um Movimento Harmônico Simples, onde a força é diretamente proporcional e oposta ao deslocamento.
Resposta
Assim, demonstramos que, quando
é pequeno comparado a
, o movimento da carga
é harmônico simples ao longo do bissetor perpendicular.