Duas partículas idênticas, cada uma com uma carga +q estão fixas no espaço e separadas por uma distância d. Uma terceira partícula com carga -Q está livre para se mover e, inicialmente, em repouso no bissetor perpendicular das duas cargas fixas a uma distância x do ponto central entre elas. a) Demonstre que, se x é pequeno comparado com d, o movimento de -Q é harmônico simples ao longo do bissetor perpendicular. b) Determine o período do movimento c) O quão rápido a carga -Q se deslocará quando estiver no ponto central entre as duas cargas fixas se, inicialmente for solta a uma distância a< do ponto central?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é analisar o movimento de uma carga -Q que está interagindo com duas cargas fixas +q separadas por uma distância d. A matéria que vamos usar aqui é Eletrostática e Movimentos Harmônicos Simples. Precisamos entender as forças envolvidas e como elas afetam a carga -Q quando ela se move ao longo do bissetor perpendicular das duas cargas fixas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a situação. Temos duas cargas positivas +q fixas separadas por uma distância d. A carga -Q está colocada no ponto médio, mas deslocada uma distância x ao longo da linha que é perpendicular à linha que une as duas cargas fixas. Esse ponto é o bissetor perpendicular.

Passo 3

Quando a carga -Q se move para esse ponto, ela vai sentir a força de atração de ambas as cargas +q. Como as cargas +q são iguais e estão simetricamente posicionadas, as componentes horizontais das forças se cancelam, e só sobra a componente vertical que vai puxar ou empurrar a carga -Q de volta em direção ao ponto central.

Passo 4

Agora, para mostrar que esse movimento é harmônico simples quando x é pequeno comparado com d, precisamos relacionar a força restauradora com o deslocamento x. A Lei de Coulomb nos diz que a força entre duas cargas é:
F = k q1 q2r^2
Onde k é a constante eletrostática, q1 e q2 são as cargas, e r é a distância entre elas.

Passo 5

No nosso caso, a força total sobre -Q será a soma das forças vindas de cada uma das duas cargas +q. Como x é pequeno, podemos usar a aproximação de que r approx d/2, e expandir a expressão para a força em série de Taylor, mantendo apenas os termos lineares em x.

Passo 6

Após simplificar, encontramos que a força restauradora F é proporcional a x, ou seja:
F = -kx
Isso é exatamente a condição para um Movimento Harmônico Simples, onde a força é diretamente proporcional e oposta ao deslocamento.

Resposta

Assim, demonstramos que, quando x é pequeno comparado a d, o movimento da carga -Q é harmônico simples ao longo do bissetor perpendicular.

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