Duas partículas oscilam em um movimento harmônico simples ao longo de um segmento retilíneo comum, de comprimento A. As duas partículas têm um período de 1,5 s , mas existe uma diferença de fase de pi / 6 rad entre os movimentos. Nesse instante, as partículas estão se movendo no mesmo sentido, estão se aproximando uma da outra, ou estão se afastando uma da outra?

Passo 1

Então, temos duas partículas que estão se movendo em um movimento harmônico simples (MHS) ao longo de uma linha reta com a mesma amplitude . Ambas têm um período de segundos, mas estão fora de fase uma da outra por radianos. O objetivo é descobrir, nesse instante específico, se as partículas estão se movendo na mesma direção, se estão se aproximando ou se estão se afastando uma da outra.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que no movimento harmônico simples, a posição de uma partícula em função do tempo é dada por:
x(t) = A cos(omega t + phi)
Aqui, é a amplitude, é a frequência angular, e é a fase inicial.

Passo 3

Como ambas as partículas têm o mesmo período omega = 2piT s, podemos calcular a frequência angular omega = 2pi1,5 = 4pi3 , rad/s usando a fórmula:
Substituindo s:

Passo 4

Agora, vamos escrever as equações de posição para as duas partículas. Vamos chamar a primeira de Partícula 1 e a segunda de Partícula 2.
Para a Partícula 1:
x1(t) = A cos(omega t)
Para a Partícula 2, que está fora de fase por x2(t) = A cos(omega t + pi6) :

Passo 5

Para descobrir como as partículas estão se movendo nesse instante, precisamos encontrar suas velocidades. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar as equações de posição.
Derivando v1(t) = -A omega sin(omega t) :
v2(t) = -A omega sin(omega t + pi6)
Derivando :

Passo 6

Agora, precisamos saber o valor de no instante considerado. No entanto, como o problema não especifica um tempo específico, vamos analisar a situação de forma geral.
Sabemos que as duas partículas têm a mesma frequência e amplitude, mas estão fora de fase. Isso significa que em qualquer instante, suas velocidades dependem do seno com fases diferentes.

Passo 7

Para determinar se as partículas estão se movendo na mesma direção, vamos comparar os sinais de e .
Se e tiverem o mesmo sinal, as partículas est��o se movendo na mesma direção. Se tiverem sinais opostos, estão se movendo em direções opostas.

Passo 8

Como a fase de sin(omega t + pi6) = sin(omega t)cos(pi6) + cos(omega t)sin(pi6) é maior que a de , podemos usar a identidade trigonométrica para a diferença de seno:
Sabemos que e .

Passo 9

Substituindo os valores:
sin(omega t + pi6) = sin(omega t)(raiz32) + cos(omega t)(12)
Isso mostra que as velocidades das duas partículas são relacionadas, mas não idênticas.

Passo 10

Portanto, no instante considerado, as partículas têm velocidades diferentes devido à diferença de fase. Isso implica que estão se movendo em direções contrárias, ou seja, se uma está indo para a direita, a outra está indo para a esquerda, e assim por diante.

Resposta

As duas partículas estão se movendo em direç��es opostas e, portanto, estão se afastando uma da outra nesse instante.

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