Duas partículas oscilam em um movimento harmônico simples ao longo de um segmento retilíneo comum, de comprimento . As duas partículas têm um período de 1,5 s , mas existe uma diferença de fase de entre os movimentos. Nesse instante, as partículas estão se movendo no mesmo sentido, estão se aproximando uma da outra, ou estão se afastando uma da outra?

Passo 1

Então, temos duas partículas que estão se movendo em um movimento harmônico simples (MHS) ao longo de uma linha reta com a mesma amplitude . Ambas têm um período de segundos, mas estão fora de fase uma da outra por radianos. O objetivo é descobrir, nesse instante específico, se as partículas estão se movendo na mesma direção, se estão se aproximando ou se estão se afastando uma da outra.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que no movimento harmônico simples, a posição de uma partícula em função do tempo é dada por:
Aqui, é a amplitude, é a frequência angular, e é a fase inicial.

Passo 3

Como ambas as partículas têm o mesmo período s, podemos calcular a frequência angular usando a fórmula:
Substituindo s:

Passo 4

Agora, vamos escrever as equações de posição para as duas partículas. Vamos chamar a primeira de Partícula 1 e a segunda de Partícula 2.
Para a Partícula 1:
Para a Partícula 2, que está fora de fase por :

Passo 5

Para descobrir como as partículas estão se movendo nesse instante, precisamos encontrar suas velocidades. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar as equações de posição.
Derivando :
Derivando :

Passo 6

Agora, precisamos saber o valor de no instante considerado. No entanto, como o problema não especifica um tempo específico, vamos analisar a situação de forma geral.
Sabemos que as duas partículas têm a mesma frequência e amplitude, mas estão fora de fase. Isso significa que em qualquer instante, suas velocidades dependem do seno com fases diferentes.

Passo 7

Para determinar se as partículas estão se movendo na mesma direção, vamos comparar os sinais de e .
Se e tiverem o mesmo sinal, as partículas est��o se movendo na mesma direção. Se tiverem sinais opostos, estão se movendo em direções opostas.

Passo 8

Como a fase de é maior que a de , podemos usar a identidade trigonométrica para a diferença de seno:
Sabemos que e .

Passo 9

Substituindo os valores:
Isso mostra que as velocidades das duas partículas são relacionadas, mas não idênticas.

Passo 10

Portanto, no instante considerado, as partículas têm velocidades diferentes devido à diferença de fase. Isso implica que estão se movendo em direções contrárias, ou seja, se uma está indo para a direita, a outra está indo para a esquerda, e assim por diante.

Resposta

As duas partículas estão se movendo em direç��es opostas e, portanto, estão se afastando uma da outra nesse instante.

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