Duas pequenas esferas iguais e de mesma carga têm 0,1 g de massa cada uma e pendem de um mesmo ponto através de fios de comprimento 13 cm. Determinar a carga q em cada uma delas sabendo-se que estão separadas de 10 cm devido a forças elétricas mútuas de repulsão.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas esferas carregadas que estão penduradas por fios e se afastaram uma da outra por causa da repulsão elétrica. Nosso objetivo é encontrar a carga em cada esfera. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletricidade (força elétrica) e estática (equilíbrio de forças). Vamos precisar das leis de Coulomb e das condições de equilíbrio das forças no sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as forças que atuam em cada esfera. Cada esfera está sujeita a três forças principais:
  1. Força da gravidade ( ): Puxa a esfera para baixo.
  2. Tensão do fio ( ): Puxa a esfera ao longo do fio, formando um ângulo com a vertical.
  3. Força elétrica de repulsão ( ): Afasta as esferas uma da outra.

Passo 3

Para que as esferas estejam em equilíbrio, a soma das forças na vertical deve ser zero e a soma das forças na horizontal também deve ser zero. Vamos decompor a tensão do fio nessas duas direções:
  • Componente vertical da tensão ( ): Equilibra a força da gravidade.
  • Componente horizontal da tensão ( ): Equilibra a força elétrica de repulsão.

Passo 4

Vamos determinar o ângulo sin(theta) = distância horizontalcomprimento do fio = 0,100,13 que o fio forma com a vertical. Sabemos que a distância horizontal entre as esferas é 10 cm (0,10 m) e o comprimento do fio é 13 cm (0,13 m). Podemos usar trigonometria para encontrar theta = arcsin(0,100,13) approx 51,8^circ :
â

Passo 5

Agora, relacionamos as componentes das forças. Na direção vertical:
T cos(theta) = Fg = m cdot g
Onde:
  • Fg = 0,0001 times 9,81 = 0,000981 N g = kg
  • m/s²
Calculando :

Passo 6

Na direção horizontal:
T sin(theta) = Fe
A força elétrica de repulsão é dada pela Lei de Coulomb:
Fe = k cdot q^2r^2
Onde:
  • N·m²/C²
  • m

Passo 7

Vamos isolar T = Fgcos(theta) = 0,000981cos(51,8^circ) approx 0,0009810,6235 approx 0,001572 N da equação vertical e substituir na equação horizontal:
0,001572 times sin(51,8^circ) = 8,988 times 10^9 cdot q^20,01
Substituindo na equação horizontal:
0,001572 times 0,785 = 8,988 times 10^9 cdot 100 q^2
0,001234 = 8,988 times 10^11 cdot q^2

Passo 8

Agora, isolamos q^2 = 0,0012348,988 times 10^11 approx 1,373 times 10^-15 C^2 :
q = raiz1,373 times 10^-15 approx 1,172 times 10^-7 C
Tomando a raiz quadrada para encontrar :

Resposta

A carga em cada uma das esferas é aproximadamente Coulombs.

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